Infiltratio

infiltratum az orvostanban, l. Beszürődés és Gyuladás; az ásvány- és növénytanban, l. Bekérgezés.

Infimus

(lat.) a. m. a legalacsonyabb, legalsóbb.

In fine

(lat.) a. m. végül.

Infinitezimál geometria

az infinitezimál számítás alkalmazása a geometriára. Irodalmát 1. a Felület cikknél.

Infinitezimál számítás

igy hivjuk közös néven a változó mennyiségek növekményeinek összehasonlításából keletkezett differenciálszámítást (derviációszámítás, különbzéki számítás), a differenciálás megfordításával foglalkozó integrálszámítást (egészelés) s a variációszámítást, mert mindannyian végtelenül kisebbedő vagy - mint röviden mondjuk - végtelen kicsiny mennyiségekre vonatkozó számításokkal foglalkoznak.

Differenciálszámítás. Ha valamely x változó mennyiség értékét azáltal változtatjuk, hogy az adott x értékhez hozzáadunk h-t, akkor h a változó növekményének neveztetik. Ez azonban nem tartozik pozitiv számnak lenni, tehát nem jelent mindig a szó szoros értelmében nagyobbodást. Ha továbbá y = f(x) az x független változónak valamely függvényét jelenti, akkor az f(x+h) - f(x) különbséget a függvény növekményének nevezzük.

A Dx=h és a Dy = f(x+h)-f(x) növekményének egymáshoz való viszonya, vagyis [ÁBRA] különbségi hányadosnak neveztetik. Az infinitezimál számítás azon alapul, hogy a legfontosabb függvényeknél a különbségi hányadosnak véges és meghatározott határértéke van, ha x-nek növekménye minden határon tul a zérushoz közeledik. E határérték az y = f(x) függvény differnciálhányadosa az x adott értékére vonatkozólag, vagy más szóval az adott x helyen. Jelei:

[ÁBRA]

Ha p. f(x)= x3, akkor

[ÁBRA]

s innen y'= 3x2.

Ha x-nek más és más adott értéket tulajdonítunk, az f'(x) differenciálhányadosnak is más és más értéke lesz, ugy hogy f'(x) szintén az x függvénye s mint ilyen f(x) derivált függvényének neveztetik. Ha e derivált függvényt ujból differenciáljuk, vagyis f'(x) differenciálhányadosát képezzük, akkor f(x) másodrendü vagy második differenciálhányadosát nyerjük, melynek jelei:

[ÁBRA]

Hasonlóképen képezhetjük a második differenciálhányadosból f(x)-nek harmadrendü vagy hamadik differenciálhányadosát, stb.

A differenciálhányados fogalmából következik [ÁBRA], hol h tetszőlegesen kicsinnyé tehető, hacsak Dx eléggé kicsinynek van választva. E szerint nemcsak Dy és f'(x) Dx különbsége (h.Dx), hanem még ennek Dx-hez való viszonya is Dx-szel együtt minden határon tul kisebbedik. Szokott kifejezés-móddal ezt ugy mondhatjuk, hogy ha Dx s vele együtt Dy végtelenül kicsinnyé lesz, akkor Dy és f'(x)Dx különbsége a Dx-nél magasabb rendü végtelen kicsinnyé lesz. Továbbá rendesen ahelyett, hogy Dx és Dy végtelenül kicsinnyé lesznek; röviden csak azt mondjuk, hogy végtelenül kicsinyek, s ilyenkor dx és dy-nal jelöljük. Ugyanekkor ahelyett, hogy Dy és f'(x) Dx különbség magasabb rendü végtelen kicsinnyé lesz, azt mondjuk, hogy dy és f'(x)dx egymástól csak magasabb rendü végtelen kicsiny mennyiséggel különbözik. Képzeletben dy = f" (x)dx, hol a növekmények dx és dy-nal való jelölése már arra figyelmeztet, hogy az egyenlet csak a magasabb rendü végtelen kicsiny mennyiségek elhanyagolásával igaz. A dx és dy végtelenül kicsiny növekményeket defferenciálóknak nevezzük. A függvény differenciálja (dy) a mondottak szerint egyenlő a differenciálhányadosnak s az x független változó differenciáljának szorzatával. Minthogy valamely függvény differenciálhányadosából a függvény differenciálja a fordítva a differenciálból a differenciálhányados közvetlenül felirható, azért ugy a differenciálhányadosnak, mint a differenciálnak képezését differenciálásnak (különbzékelésnek) nevezzük.

A differenciálás fogalma két és több független változó függvényeire szintén kiterjeszthető. Ha z = f(x,y) függvényben csak x-et növesztjük, ellenben a másik változó értékét változatlanul hagyjuk, akkor z-t tulajdonképen az egyetlen x változó függvényének tekintjük s mint ilyennek mevizsgálhatjuk differenciálhányadosát. Az igy nyert differenciálhányados z-nek parciális differenciálhányadosa x szerint és d z/d x-szel jelöltetik.

A gömbölyü d-k éppen arra figyelmeztetnek, hogy differenciálás közben az y változót állandónak tekintettük. (Ezzel ellentétben az egy változós függvények differenciálhányadosában szerepelő egyenes d annak kijelentésére való, hogy ezen ugynevezett totális differenciálhányados képezésénél semmiféle megszorítás nem történt.) Ha továbbá z differenciálásánál csak y-t tekintjük változónak és x-et állandónak, ugy a dz/dy parciális differenciálhányadost nyerjük. A differneciálhányadosokat ujból differenciálva [ÁBRA] a másodrendü parciális differenciálhányadosokat nyerjük, melyek közül rendszerint [ÁBRA]

Ismételt differenciálás a harmad- és magasabb rendü parciális differenciálhányadosokra vezet. Két változót tartalmazó függvény differenciálhányadosaira gyakran a következő jelöléseket is használjuk:

[ÁBRA]

A parciális differenciálhányadosokból egyszersmind fontos következtetés vonható z=f(x,y) oly változtatására, melynél ugy x-et, mint y-t növesztettük. Ha ugyanis az x-nek és y-nak Dx és Dy növekményei akként kisebbednek minden határon tul, hogy egy szintén végtelenül kisebbedő Dt-hez való viszonyuk abszolut értéke egy bizonyos véges számnál folyvást kisebb marad, akkor a Dz=f(X+Dx, y+Dy)-f(x,y) növekmény és [ÁBRA] közötti különbség a Dt-nél magasabb rendü végtelen kicsinnyé lesz, ha csak dz/dx és dz/dy folytonos függvényei. Ha tehát végtelenül kisebbedő növekmények helyett ismét végtelenül kis növekményekről szólunk, ugy magasabb rendü végtelenül kis mennyiségek elhanyagolásával x, y és z végtelenül kis növekményei (dx, dy és dz) között a következő kapcsolat áll fenn:

[ÁBRA]

Itt a jobboldalon álló kifejezés z teljes differenciáljának neveztetik; a benne előforduló dx és dy az x illetve y változók differenciáljai.

A differenciálszámítás legfontosabb alaptétele a véges Taylor-sor. Ez egy változós függvény esetében a következő: a k bármely pozitiv egész számu értékénél [ÁBRA] oly a értékére nézve, melynek behelyettesítése 0/0 határozatlan alakra vezet, vagyis abban az esetben, midőn f(a)=j(a) = 0. A meghatározás ugy történik, hogy f(x)/j(x) helyett f'(x)/j'(x)-be helyettesítjük az x=a értéket, ha pedig igy ujból 0/0 alakot nyerünk, akkor f''(x)/g''(x)-be helyettesítünk, stb. A véges Taylor-soron alapszik a függvények legnagyobb és legkisebb értékeinek meghatározása is.

A differenciálszámítás a geometriában és mekánikában számos fontos alkalmazást talál. Ha p. y=f(x) egy görbének (1. az ábrát) x= OM abszcisszájához tartozó MP ordinátát jelenti, továbbá Dx =MM' és f(x+Dx)= M'P', akkor [ÁBRA] vagyis a különbségi hányados a PP' szelő és az x tengely által bezárt szögnek tangense. Ha x [ÁBRA] minden határon tul kisebbedik, akkor a szelőből érintő lesz és [ÁBRA]

A differenciálhányados tehát a P pontban vont érintő irányát határozza meg, mert az érintő és az x tengely által bezárt szögnek tangensével egyenlő. Hasonlóképen egy kétváltozós függvény differenciálhányadosai egy felület érintősikjának állását határozzák meg. A mekanikában pedig egy pont sebessége egyenlő az utnak, mint az idő függvényének differenciálhányadosával.

Integrálszámítás. Ennek legegyszerübb feladata mindama y =F(x) függvények meghatározása, melyeknek differenciálja valamely folytonos tartományban (1. Számtartomány) egy adott f(x)dx differenciállal egyenlő. Ezen függvények összességét f(x)dx határozatlan integráljának nevezzük s igy jelöljük: [ÁBRA] Meghatározásukat integrálásnak vagy egészelésnek mondjuk. Ugyanigy hivjuk az integralszámítás egy másik műveletét, mely a határozatlan integrálok képezésével szoros kapcsolatban van, t. i. a határozott integrálok (l. o.) meghatározását. Ha f(x)dx-nek egy bizonyos számközre vonatkozólag van határozott integrálja, akkor az f(x) függvényt e közben integrálhatónak mondjuk. Hogy az integrálhatóságnak mi a szükséges és elégséges feltétele, az Riemann határozta meg először (1. Határozott integárl.] Egy érdekes elégséges feltételt Dini talált (1. Függvénytan). Ugy f(x)dx határozatlan integráljának, meghatározását quadraturának is nevezzük, ellentétben a tágabb értelemben vett integrálással vagy egészeléssel, mely alatt differenciálegyeletek (l. o. megoldása értendő. A legegyszerübb differenciál-egyenleteknek, t. i. az y'=f(x) alakuaknak megoldása azonos feladat [ÁBRA] képezésével.

Variációszámítás. A matematikában gyakran fordul elő, hogy valamely mennyiségnek értéke egy bizonyos függvény alakjától függ; p. a siknak valamely (x1,y1) pontjától annak (x2,y2) pontjáig huzott vonalnak ivhossza [ÁBRA] függ a huzott vonalnak alakjától, vagyis a vonalnak y=f(x) egyenletében szereplő f(x) függvény alakjától. A variációszámítás annak vizsgálatával foglalkozik, hogy ily esetekben a függvény melyik alakja mellett veszi fel a szóban forgó mennyiség (többnyire valamely határozott integrál) a lehető legnagyobb vagy a lehető legkisebb értéket. Ennek meghatározása rendszerint egy vagy több differenciálegyenlet integrálását kivánja.

Történet. Az infinitezimál számítás módszereinek csirája már az ókorban is megtalálható. Már Archimedes ugy határozta meg az egy görbe vonal által bezárt területet, hogy bizonyos számu trapezszerü részre osztotta, melyek számát minden határon tul növelte, mig szélességüket minden határon tul kisebbítette s velök a meghatározandó területet mintegy kimerítette. E módszert exhaustiónak nevezzük. Az a mozgalom azonban, mely a differenciál- és integrálszámításra vezetett, csak a XVII. században indult meg. 1635. jelent meg Cavalieri hires Geometria indivisibilibus continuorom nova quadam ratione promota cimü művének első kiadása, melyben a sikterületeket végtelenül sok párhuzamos egyenes összességének, a testeket pedig végtelenül sok sik összességének tekinti. A rákövetkező fészázadban számosan foglalkoztak az infinitezimál számítás körébe tartozó feladatokkal; még pedig a differenciálszámítás körébe tartozó feladatokkal (érintő meghatározása, függvények legnagyobb és legkisebb értékének megállapítása) Fermat, az integrálszámítás körébe tartozókkal Pascal foglalkozott legnagyobb sikerrel. Végre a differenciál és integrál számítás tulajdonképeni megalapítói Leibniz és Newton. A ma használt elnevezések és jelölések Leibniztől valók, legalább amennyiben egy változás függvényekre vonatkoznak. Newton mekanikai felfogásból indult ki, a differenciálhányadosokat sebességeknek tekintette s fiuxióknak nevezte, magát az infinitezimál számítást pedig fiuxió-számításnak. 1696., tehát kevéssel a differenciál- és integrálszámítás feltalálása után, Bernoulli János a matematikusoknak egy variációszámítási feladatot tüzött ki: a brachistochron (l. o.) meghatározását. A feladatot többen oldották meg, de csak Bernoulli Jakab, Jánosnak bátyja fejezte ki világosan az eféle feladatok megoldására szolgáló eljárás alapgondolatát s azért ő tekintendő a variációszámítás megalapítójának. Egyszersmind felszólította testvérét, alkalmazza az uj módszert más kérdések megfejtésére, köztük a következőére: egyenlő kerületü (izoperimetrikus) idomok közül melyik a legnagyobb területü. E problemáról hosszu ideig az összes variációszámítási problemákat (a szó tágabb értelmében) izoperimetrikus problemáknak nevezték. Az ily problemák tisztán analitikai megoldására csak Euler talált módot s a variációszámítás mostani módszereit csak Lagrange alapította meg.

Infinitezimál transzformáció

a transzformáció-csoportok elméletének egyik alapfogalma. Ha p. az x' és y' változók az

x' = f(x,y) y' = g(x,y)

egyenletekkel mint x és y függvényei vannak értelmezve, akkor ez az egyenletrendszer az xy és x', y' változók között transzformációt (átalakítást) fejez ki, feltéve, hogy az egyenletrendszer x és y szerint megoldható. Ha f és g még határozatlan állandókat (parametereket) is tartalmaz, akkor ezen egyenletek végtelenül sok transzformációt fejeznek ki, melyek a parameterek értéke más és más választásának felelnek meg. Ilyen egyenletrendszer p.

(1) x' = a - x y' = y.

Ha e transzformációval x,y-ról áttérünk x' és y'-re s azután a hasonló alaku

x" = b - x' y" = y'

átalakítással x', y'-ról x" és y"-re, akkor az x,y és x"y" között levő kapcsolatot az

x" = b - a + x y"=y

transzformáció-képletek fogják kifejezni, melyek többé nem birnak az (1) alatti alakkal. Ellenben a

(2) x'= a + x cos a - y sina

y" = b + x sin a + y cosa

transzformációnak s a hasonló alaku

x" = a' +x' cosa"-y' sina'

y" = b'+x' sina'+y' cosa'

transzformációnak egymás után való alkalmazása oly

x" = a" + x cosa" - y sina"

y" = b" + x sina" + y cosa"

eredő transzformációval pótolható, mely ismét a (2) alatti alakkal bir, csakhogy benne a, b, c helyett az

a" = a + a' b" = b + b' a" = a + a'

állandók vannak. Az (1) alaku és a (2) alaku transzformációk között tehát lényeges különbség van: az előbbiek nem képeznek csoportot, az utóbbiak ellenben egy háromtagu véges folytonos csoportot képeznek. Egyáltalában, ha a transzformáció-képletek g parametert tartalmaznak és az illető képletek által kifejezett végtelenül sok transzformáció közül bármelyik kettőt összetéve megint csak az adott alaku transzformációk egyikét nyerjük, akkor e transzformációk összeségét g tagu véges folytonos transzformációcsopotnak, vagy röviden g tagu csoportnak mondjuk.

Jellemezzen az

x' = f(x,y;a) y' = g(x, y; a)

egyenletrendszer oly egytagu csoportot, mely az identikus transzformációt is magában foglalja, azaz létezzék egy oly a0 számérték, hogy

Ha a helyébe a0+dt képlet szeritn a dt parametert vezetjük be és ennek hatványai szerint sorba fejtünk, akkor dt eléggé kicsiny értékeire nézve

x' = x + x (x,y) dt +...

y' = y + h (x,y) dt +...

vagyis a

dx = x.dt dy = h.dt

egyenletek dt -nek első hatványáig terjedő pontossággal megadják x és y változását a szóban forgó transzformációnál. Azért ezekről az egyenletekről azt mondjuk, hogy infinitezimál transzformációt fejeznek ki. Az I. egyszersmind magát az egytagu csoporot is teljesen jellemzi. Ugyanis az

x' = x + x.dt +..., y' = y + h.dt +...

sorokban dt bármely n-dik hatványának együtthatója oly módon nyerhető x illetőleg y-ból, hogy n izben ismételjük rajta a következő képlettel értelmezett X differenciálási műveletet:

[ÁBRA]

Infinitivus

(lat.) am. m. főnévi igenév, l. Igenév.

Infinitus

(lat.) a. m. végtelen határtalan. Infinitás, határtalanság, végtelenség; infinitum, a végtelen, a határtalan.

Infirmaria

(uj-lat., franc. infirmerie) a. m. kórház, betegszoba (kolostorokban).

Infixum

(lat.) a. m. a szótő belsejébe kerülő viszonyító elem, p. n a latin fundo-ban a folyó cselekvés jelölésére (a tiszta igető fud-).

Inflacionisták

(lat.), igy nevezik különösen az északamerikai Egyesült-Államokban azon pártot, mely a papirpénz bőkezü kibocsátását pártolja. Amerikában időről-időre feltünik ez a párt, mely e nézet mellett küzd és valósággal rajongásba esik a papirpénzért. Ezen irány egyik legkiválóbb harcosa Carey (l. o.). Az I.-at itt-ott expanzionistáknak nevezik, ujabban fiatismusnak is (fiat money), ellenben azokat, akik a papirpénz korlátolása mellett foglalnak állást, kontrakcionistáknak.


Kezdőlap

˙