MEK fejléc

###
KISS ELEMÉR

## A "Bolyai-ládák" legújabb titkai

"Százszor betoldta, százszor húzta át,
Míg izzadozván meglelé az utat."
(Székely János: "Bolyai hagyatéka",
szonettkoszorú)

> Mindent tudunk-e ma már "a legnagyobb magyar tudósról", Bolyai Jánosról? Ismerjük-e minden titkát, melyet egyetlen bizalmasával, a türelmes papírlappal közölt? Ezekre a kérdésekre csak akkor adhatunk választ, ha ismét átlapozzuk és kibetűzzük nehezen olvasható írásait.

> Az ún. Ruffini-Abel-tétel kimondja, hogy a négynél magasabb fokú algebrai egyenleteket általában nem lehet algebrailag megoldani, azaz nem létezik olyan eljárás, amely az egyenletek megoldásait az egyenletek együtthatóiból kizárólag a négy alapművelet, a hatványozás és pozitív egész kitevőjű gyökvonás véges, sokszor való alkalmazásával adja meg. Bolyai János hosszú, néha tévedéseket is rejtő úton jutott el ehhez a megállapításhoz. Miképpen történt ez? Melyek voltak a megtett út szakaszai, állomásai? Ezek a "Bolyai-ládák" legújabb titkai.

Bolyai János kézírásával: "Az általános 5-rangú egyenlet
geber föloldása vagy az 5-rangú egyenlet általános
geber megfejtése lehetlenségének útja vagy módja"

Miután 1860. január 27-én a hűséges gondozó, Szőts Júlia, remegő kézzel leírta hogy "...a Kapitány Úr nincs többé", a marosvásárhelyi katonai várparancsnok Bolyai János minden írását lefoglaltatta, és utasítást adott, hogy rakják azokat ládákba, vigyék be a várba. Meg kellett vizsgálni, hogy nincs-e bennük valamilyen katonai vonatkozású titok. Különös, de talán éppen ennek az önkényes intézkedésnek köszönhető, hogy Bolyai kéziratai nem semmisültek meg. A ládák a későbbiek folyamán sok viszontagságon mentek át, s így az évek során az írások közül több elkallódott. Tudunk arról is, hogy Bolyai János féltestvére, Bolyai Gergely sem őrizte a birtokában lévőket elég gonddal. Sajnálkozva olvassuk a Koncz József marosvásárhelyi tanárhoz 1884-ben írt levelét: "...Jánosnak sok levele volt, mind megsemmisítettem. Azokban igaz, hogy roppant sok mathematicum volt..."

Szerencsére a kéziratok közül sok megmenekült a pusztulástól, s így ma is olvashatjuk, tanulmányozhatjuk azokat. Mintegy száz éve a Bolyai-kutatók nagy tábora a sárguló lapok fölé hajolva fürkészi, vizsgálja Eötvös Loránd szerint "a legnagyobb magyar tudós" gondolatait. Ennek a munkának eredménye a ma már könyvtárnyi Bolyai-írás. Egyes becslések szerint kb. 25 000-re tehető a Bolyaival közvetlenül vagy közvetve foglalkozó művek száma.

Nem könnyű a Bolyai-kéziratokat olvasni. Új betűket, szavakat alkot. Jelölései néha eléggé nehézkesek, szokatlanok. Szövegei tele vannak törlésekkel, betoldásokkal, ismétlésekkel. Írásai közül sok befejezetlen. Tudatában volt feljegyzései hevenyészettségének, maga számára írt, azokból csak válogatott anyagot akart az olvasók elé bocsátani.

Bolyai János (1802-1860) a matematikatörténet egyik legnagyobb alakja. A geometria területén végzett korszakalkotó kutatásaival vált világhírűvé. Főműve A tér tudománya, ismertebb nevén az Appendix, amellyel felfedezte az abszolút geometriát, s ennek sajátos eseteként kidolgozta az ún. hiperbolikus geometriát. Valahányszor a nevét említjük, szinte mindig geometriai eredményeit helyezzük előtérbe. Ez teljesen indokolt, hisz a geometriában valóban egyedülálló eredményt ért el, de igazságtalanok vagyunk, ha megfeledkezünk egyéb munkáiról. Ezek között elsősorban a Responsio című, egy lipcsei pályázatra beküldött, nagy jelentőségű dolgozatát említhetjük. E munkája alapján Bolyait Hamilton angol matematikus mellett a komplex számok modern elmélete megalapozójának tekinthetjük.

Ez azonban csak egyik része algebrai kutatásainak. A másik - eddig nem ismert - nagy szenvedélye az algebrai egyenletek vizsgálata. Hosszú időn át, amint írja "...fordítottam különös figyelmemet e tárgyra, keményen neki állottam, vetettem magamat ezen erős vagy kemény vár ostromának..." Nem hiába, hisz ő is felfedezi, igaz mintegy 10-15 éves késéssel, de Abeltől függetlenül, az algebrai egyenletek egyik fontos tételét, az ún. Ruffini-Abel-tételt.

"Így állott a dolog: midőn Ruffini..."

Mielőtt lapozni kezdenők a kézirati hagyatékot, szóljunk néhány szót az algebrai egyenletek algebrai megoldhatóságának a problémájáról. Ez a kérdés is egyike a matematikatörténet jelentős problémáinak. Megoldása századokon át foglalkoztatta, izgalomban tartotta a legkiválóbb matematikusokat, akárcsak a nagy Fermat-tétel, a párhuzamosok vagy a prímszámokkal kapcsolatos kérdések. Az egyenletek megoldásával foglalkozó matematikusok sorába tartozik Scipio del Ferro, Cardano, Ferrari, Lagrange, Newton, Euler, d'Alembert, Tschirnhaus, Gauss, Ruffini, Abel, Galois. És úgy érzem, hogy Bolyai János neve is kiegészíti ezt a névsort.

Az, hogy az algebrai egyenletek algebrailag megoldhatók-e, a reneszánsz korában került előtérbe. Első- és másodfokú egyenleteket már a régi babiloniak is sikerrel oldottak meg vagy 4000 évvel ezelőtt. A harmad- és negyedfokúak megoldása gyökképlettel csak a tizenhatodik században sikerült, olasz matematikusoknak. Az itáliai matematikusok sikerei mély hatást eredményeztek. A modern idők tudománya először haladta jelentősen túl az antik és az arab matematikát. Nem létezett ezután egyetlen nagy matematikus sem, aki ne próbálta volna folytatni az olaszok eredményeit és velük analóg módon algebrailag megoldani az ötöd-, hatod és magasabb fokú egyenleteket. Ezek az erőfeszítések sorra kudarcot vallottak.

Az évszázadok előrehaladtával mind több és több matematikus fejében megfordult, hogy talán nem is létezik megoldóképlet. A vélemények ebben a tekintetben megoszlottak. Lagrange (1736-1813) pl. kételkedett az ötödfokú egyenlet megoldhatóságában, sejtésként kimondta, hogy az ötöd- és annál magasabb fokú egyenletek nem oldhatók meg algebrailag. Euler (1707-1783) viszont úgy vélekedett, hogy a négynél magasabb fokú egyenletek megoldhatók. Tschirnhaus (1651-1708) azt hitte, hogy általános módszert talált az egyenletek megoldására. A kérdést végül is a 18. század végén és a 19. század elején sikerült végleg tisztázni.

"...tán nem volna oly bajos vagy nehéz..."

Először, 1799-ben Ruffini (1765-1822) közölt bizonyítást arra, hogy az ötöd- és magasabb fokú egyenletek általában nem oldhatók meg algebrailag. Bizonyítása azonban hiányos volt. Később, 1826-ban, aztán Abel (1802-1829) hibátlan gondolatmenettel bebizonyította a tételt. Pedig egy időben, 1820-ban, még ő is úgy vélte, hogy megtalálta az ötödfokú egyenlet megoldóképletét.

Abel cikkével az egyenletek megoldásának problematikája még nem zárult le. Ugyanis nagyon sok olyan négynél magasabb fokú egyenlet létezik, amely algebrailag megoldható. A Ruffini-Abel-tétel szükségessé teszi tehát egy fontos elméleti kutatás megindítását: mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy egyenlet algebrailag megoldható legyen. Ennek a problémának a teljes megoldása Galois (1811-1832) nevéhez fűződik.

Ezzel a közel három évszázados küzdelem az ötöd- és magasabb fokú egyenletek megoldóképletének a felkutatására eldőlt. Kiderült, hogy a matematikusok olyasvalamit kerestek, ami nem létezik.

A kéziratlap tanúsága szerint Bolyai János az egyenlet
megoldására Lagrange módszerét szerette volna alkalmazni

Az előbbiekben vázolt kérdés az, amellyel Bolyai János is sokat és eredményesen foglalkozott. Ez irányú törekvései azonban még nem ismertek. Azok a még feldolgozásra váró kéziratokban rejlenek. Igaz ugyan, hogy Stäckel Pál, a legelső alapos Bolyai-monográfia szerzője, könyvében már 1913-ban megemlíti, hogy Bolyai hagyatéka átnézése közben egy olyan cédulát talált, amelyre Bolyai saját magának feladatul feljegyezte az általános algebrai egyenlet megoldásának kérdését. Ezt később Dávid Lajos (1923-ban) és Weszely Tibor (1981-ben) is megerősíti. Weszely azt is megemlíti, hogy Bolyai megkísérelte az ötödfokú egyenlet megoldását is.

Különösnek tűnik, de eddig senki sem vállalkozott arra, hogy ezt a kérdést tüzetesen megvizsgálja, részletesen tanulmányozza. Valóban mit is végzett Bolyai ezen a téren? Keresett-e és talált-e választ a maga által kitűzött kérdésre? Ezek a problémák ösztönöztek arra, hogy átlapozzam a marosvásárhelyi Bolyai-Teleki Könyvtárban található sokezernyi Bolyai-kéziratot, s kibetűzve azokat, a választ megkeressem. A kéziratok olvasása nagy örömet szerzett. Bennük sok meglepő, eddig teljesen ismeretlen adatot találtam, amelyek bizonyítják, hogy Bolyai János sokat vívódott az egyenletek megoldhatóságának kérdésével. Hosszabb, rövidebb írások, néha csupán egy-egy megjegyzés tanúsítja, hogy élete végéig foglalkoztatták őt az egyenletek.

Mindenekelőtt arra voltam kíváncsi, hogy Bolyai János életének melyik szakaszában kezdte el ezt a munkát. Két olyan írást is találtam, amely eligazít. Az egyik egy olyan kéziratlap, amelyiken a magasabb fokú egyenletekről írva Bolyai János megjegyzi, hogy "Már még 1837-ben fordítottam különös figyelmemet e tárgyra...". A másik apjának, Bolyai Farkasnak, egy Bod Péterhez írt és 1837. június 20-án kelt levele, amelyben többek között ezt olvashatjuk: "A fiam azt mondja, hogy a 5ta gradus aequatiot generaliter resolválta, megmutatván az impossibilitás demonstratioja hibáit; sőt kiterjesztette a még felsőbbekre is: még nem küldötte el hozzám, de ígérte, hogy elküldi, várom talán holnap".

Ezek szerint Bolyai János már 1837-ben kezdett foglalkozni a magasabb fokú egyenletek megoldásával. Farkas levele azt is elárulja, hogy ekkor még bizonytalan úton járt.

Milyen forrásból értesült a geométerként ismert Bolyai János az algebra egyik alapvető problémájáról? Mely olvasmány hatására kezdte meg az algebrai egyenletekkel kapcsolatos vizsgálódásait? Mit tudott és mit nem munkája kezdetén az algebrai egyenletek megoldhatóságáról? Sok kérdés, amelyekre az alábbiakban válaszolunk.

Bolyai János elszigetelten, magányosan dolgozott. Távol élt a matematikai tudományos élettől, nem jutottak el hozzá a friss információk. Ezért több olyan feladat megoldását is remélte, amelyekről nem tudta, hogy elvileg megoldhatatlanok. Csak két forrása volt, ahonnan matematikai természetű újdonságokról értesülhetett. Az egyik apja, Bolyai Farkas a Református Kollégium matematikaprofesszora, akivel egész életén át szoros tudományos kapcsolatot tartott, s aki sok levelet váltott Gauss-szal. A másik kútfő, a magyar nyelvterület első közkönyvtára, a marosvásárhelyi Teleki Téka, amelynek Bolyai János rendszeres látogatója volt.

A Teleki Tékában olvasta Gauss (1777-1855) Disquisitiones arithmeticae című könyvét és a Demonstratio nova... kezdetű doktori értekezését, amelyben a még egészen fiatal matematikus (1799-ben) szigorú bizonyítását adja a klasszikus algebra alaptételének. A Teleki-könyvtárban talált még egy matematikakönyvet, amelyet sokszor emleget jegyzeteiben. Ez Andreas von Ettingshausen kétkötetes, 1827-ben Bécsben kiadott "Vorlesungen über die höhere Mathematik" című könyve. Ettingshausen egy teljes fejezetet szentel a négynél magasabb fokú egyenletek megoldhatatlanságának, s közli Ruffini bizonyítását is.

Ezekről az olvasmányairól így ír Bolyai: "Hogy pedig a 4-nél fölsőbb rangú geber egyenletek geber föloldását még egy Gaussi Nagyság is mily lehetetlennek hiszi és tartja: elég világos fényben kitűnik a remek Demonstratio nova-ja 9 &-ában, s a kolosszális Disquisitiones arithmeticae-je 645 lapjáni hatalmas és heves nyilatkozatából, hol némileg meg is ígéri ... a lehetetlenségnek már az 5-rangra, tehát annyival inkább a még fölsőbb rangokra nézve ... bizonyítást adni: mit Ruffini, a derék Ettingshausenben is meglévőleg, elmésen ugyan, de egy csomó hibával, egyszóval rosszul, tehát csak képzeltképpen meg is tett." Egy másik helyen ezt olvassuk: "Így állott a dolog: midőn Ruffini egy ugyan szép elméjű, a derék Ettingshausen Bécsi Tannok fölsőb nyitanja 29-leckéjébe is beiktatott, ok-mutatási kísérletet is tett a lehetetlenségre nézve, a 4-nél magasabb rangú egyenleteket általános geber függvények által föloldani. De ezen kísérletbe néhány hiba csúszván be: annak azt nyomról-nyomra követve vagy kísérve, kétségen kívül érdekes cáfolatját későbben közölni fönntartom magamnak".

Bolyai János nagy tisztelője Gaussnak, s ha a nagy matematikus valamely probléma megoldásáról bizonytalanul írt, akkor az fokozta Bolyai figyelmét a feladat iránt. A fenti idézetek mutatják, hogy Gauss kétkedően nyilatkozott a magasabb fokú egyenletek megoldhatóságáról. Valószínű, hogy Bolyai János érdeklődését a feladat iránt éppen Gauss említett művei és Ettingshausen könyve keltették fel. Ruffini tételének bizonyítását Ettingshausen munkájában olvasva felfedezte, hogy a bizonyítás hiányos. Ebből arra következtetett, hogy a tétel nem helyes, Ruffini azt csak "képzeletképpen" bizonyította, s ezért ígéri későbbre annak "cáfolatját".

Bolyai János először nem gondolt arra, hogy amiért Ruffini bizonyításába "hiba csúszott be", azért a tétel még igaz is lehet. Ezért, mint olyan sokan mások előtte, nagy energiával látott hozzá a négynél magasabb fokú egyenletek megoldásához, amint már idéztük: "keményen neki állottam, vetettem magamat ezen erős vagy kemény vár ostromának" Megkísérelte - akárcsak Abel - az ötödfokú egyenlet, majd pedig a tetszőleges fokszámú egyenlet algebrai megoldását.

Amikor Bolyai János az egyenletek megoldásának problémájával vívódott, a matematikusok már ismerték Abel munkáját. Bolyai erről nem tudott. Ruffini bizonyítását Ettingshausen könyvében olvasta. Ez a könyv 1827-ben jelent meg, nem várhatjuk el, hogy tartalmazza a mindössze egy évvel korábban napvilágot látott Abel-féle bizonyítást. A Crelle-féle folyóirat első számai, amelyek Abel főbb cikkeit közölték, nem jutottak el Marosvásárhelyre. Bolyai nem értesült később Galois írásairól sem, pedig azokat még az ő életében (1846-ban) közzétette Liouville.

Bolyai hagyatékában az ötödfokú egyenlet megoldására vonatkozó két próbálkozásról is találtam feljegyzéseket. Megkezdte egy dolgozat megfogalmazását. Magabiztosan írja le a címét: "Az 5 azaz öt-rendű vagy ötöd rangú geber egyenlet geber föloldása vagy megfejtése útja vagy módja." A dolgozat négy kéziratlap jobb oldali oszlopát foglalja el, de valószínű, hogy hosszabb írásnak készült, mert a negyedik lap alján a folytatásra utaló jelet találunk. A feltételezett lapokat azonban nem találtam meg. Az írás első része is figyelemre méltó. Ebben az ötödfokú egyenlet ún. Lagrange-fél rezolvensét írja fel, azt vizsgálja részletesen. Megmutatja, hogy bármely "körcsere" által az 24 különböző értéket vehet fel. Úgy tűnik, hogy Lagrange módszerét szerette volna alkalmazni az egyenlet megoldására.

A másik próbálkozásában Bolyai felírta az ötödfokú egyenlet "megoldóképletét." Ez valóban csak a négy alapműveletet, a hatványozást és pozitív egész kitevőjű gyökvonást tartalmaz, tehát az egyenlet "geber" megoldása. Ehhez a másod- és harmadfokú egyenletek ismert gyökképleteinek analógiája alapján "jut" el Bolyai János. Az eredmény egy igen bonyolult kifejezés.

Az ötödfokú egyenlet "megoldása" idején foglalkozott a tetszőleges fokszámú egyenletek megoldásával is. Egyidőben meg volt győződve arról, hogy fáradsága eredménnyel járt: "...itt most csak az 5-rangúról szólván egyébiránt bármely rangú geber egyenlet geber föloldási módja, .... teljes hatalmamban lévén, melyeket is, ha a jelen vizsga jól vagy kedvezően fogadtatik, közölni szándékolok..."

Ez volt az az időszak, amikor Bolyai János bizonytalan úton járt. Eljön azonban az idő, amikor rádöbbent kísérletei hiábavalóságára. Már nem cáfolja a Ruffini-tételt, hanem bizonyításának a "megigazítására" törekszik. Azt írja: "Mivel Ruffini első állítása még bizonyítást kíván, s míg a bizonyításnak semmi ereje nincs, én más úton igyekszem megmutatni a lehetetlenséget." Már nem beszél az ötödfokú egyenlet megoldásáról, hanem a következő címet írja egyik papírlapra: "A legegyszerűbb és rövidebb bizonyítása az 5-ik rangú általános egyenlet geber föloldása lehetlenségének..."

Ezekből a mondatokból is láthatjuk, hogy Bolyai helyes úton járt. Létezik azonban egy olyan lap a kéziratok között, amelyen egyértelműen kijelenti a Ruffini-Abel-tételt: "Tan. Négynél fölsőbb vagyis legalább öt-rangú (geber) általános egyenletet geberül föloldani lehetetlen...". A tétel kijelentése után mindjárt a bizonyítás következik, amelynek csak a kezdete van meg ezen a lapon.

Bolyai János kézirati hagyatékában a Ruffini-Abel-tétellel kapcsolatos vizsgálódásai mellett még egy valósággal lenyűgöző írást találtam, amely ugyancsak az algebrai egyenletek megoldásával kapcsolatos. Végül még ezt szeretném ismertetni.

Arra a kérdésre, hogy minden (komplex együtthatós) algebrai egyenletnek léteznek-e gyökei (a komplex számtestben), először Gauss adott kielégítő bizonyítást 1799-ben. Gauss tételét ma a klasszikus algebra alaptételének nevezzük. Ő később 1815-ben, 1816-ban és 1849-ben még három bizonyítást talált erre a téteke. Bár mindig törekedett arra, hogy az algebra alaptételét tisztán algebrai eszközökkel bizonyítsa be, ez neki nem sikerült. Igénybe kellett vennie az analízis módszereit is. A matematikusok a későbbiek során több mint 50-féle bizonyítást találtak erre a tételre.

[Az algebra alaptételének nincs "tisztán algebrai" bizonyítása. A bizonyításban ugyanis ki kell használni, hogy alapul a komplex számtest szolgál, ezt pedig (ill. a valós számtestet) valahogyan meg kell különböztetni más számtestektől. Ehhez pedig algebrán kívüli eszközökre (rendezés, határérték stb.) is szükség van.]

A Bolyai-kéziratokat lapozva nagy meglepetéssel olvassuk a következő, németül írt mondatot: "Egyszerűbb, tiszta algebrai bizonyítása annak a tételnek, hogy minden algebrai egyenletnek van egy gyöke...". Tehát Bolyai János, függetlenül más matematikusoktól, igényli az algebra alaptételének tiszta algebrai bizonyítását. A fent idézett mondattal az 1846-os évben találkozunk. Bolyai olvasta Gauss első bizonyítását, tudomása volt még arról is, hogy Gaussnak létezik két további (az 1815-ös és 1816-os) bizonyítása is, de amint megjegyezte, azokat nem ismeri.

Érdekes, hogy Bolyai János is érezte: az algebra alaptételét tisztán algebrai módszerekkel kellene bebizonyítani.

Bolyai János munkásságáról igen hiányos képet alkotunk, ha azt csupán az Appendix és esetleg a Responsio alapján ítéljük meg. Ő nemcsak az abszolút és a nem euklideszi geometria felfedezője, a komplex számok modern értelmezésének egyik első megalapozója. A legelső megfogalmazója a fizika geometrizálása gondolatának, a topológia jelentőségének megsejtője, korának egyik zenei tehetsége, az Üdvtan szerzője, anyanyelvének gondviselője. S amint a fentiekből látjuk, az algebrai egyenletek problémáinak is egyik fáradhatatlan kutatója. Szükséges tehát eddigi Bolyai portrénkat átértékelnünk, teljesebbé, igazabbá tennünk.