MEK fejléc

###

Kiss Elemér

##

Kérdések Bolyai János kutatásairól

S. E. olvasónktól kaptuk a következő sorokat Különös érdeklődéssel olvastam a Természet Világa ez évi augusztusi számában megjelent Foglalkozott-e számelmélettel Bolyai János? című cikket Az írással kapcsolatban két kérdés merült fel bennem, amelyekre szeretnék bővebb felvilágosítást kapni

1. Eddig úgy tudtuk, hogy Bolyai főleg a geometria kérdéseivel foglalkozott. Hogy lehet az, hogy már egészen korán a számelmélettel is találkozott?

2. Szívesen olvasnék részletesebben a komplex számok aritmetikájáról s Bolyainak ezzel kapcsolatos eredményeiről

A szerző válasza

1. Bolyai János valóban igen fiatalon megismerhette a számelmélet alapvető kérdéseit. Apja könyvtárában már 1804-ben ott volt Gaussnak Bolyai Farkas szerint "halhatatlan" Disquisitiones arithmeticae című nevezetes könyve, amely tartalmazza kora számelméletének legfontosabb és legújabb problémáit. Gauss művét már 13 éves kora után olvashatta Bolyai s bizonyára olvasta is, ui. ekkor már tudott latinul. Farkas 1816. április 10-én írta Gaussnak: "... felnőtt tanítványaimmal együtt nyilvánosan igen dicséretesen vizsgázott deákul..." Hogy az 1820-as években milyen alaposan tanulmányozta Bolyai János a Disquisitiones-t, kitűnik apjának Gausshoz írt másik, 1831. június 30-án kelt leveléből: "Fiamnak szándéka volt, hogy a Te polygon-elméletedet németül, a kisebb kaliberű elméknek valamivel könnyebben hozzáférhető módon adja ki..." Amint tudjuk, Gauss a polygon-elméletét a Disquisitiones arithmeticae-ben fejti ki.
De mindezeknél többet mond erre a kérdésre vonatkozóan Bolyai János saját nyilatkozata. A marosvásárhelyi Teleki-tékában őrzött kéziratos hagyaték 1214/2-es számozású lapján ceruzával írt német nyelvű szövegben ez áll: "Már kisgyermek koromban feltettem magamnak a kérdést, hogy végtelen sok prímszám létezik-e?" Ezek szerint Bolyai János tényleg egészen fiatalon találkozott a prímszámokkal és mindjárt megfogalmazta a velük kapcsolatos egyik legfontosabb kérdést is.
Arról, hogy Bolyai Jánosban igen korán jelentkezik a matematika iránti szenvedélyes érdeklődés, eddig csak apjának Gausshoz intézett leveleiből értesülhettünk. A fent említett följegyzésben viszont maga jelenti ki, hogy már gyermekkorában foglalkoztatta a számelmélet egyik legfontosabb kérdése. A kéziratokat lapozva még találkoztam Bolyainak egy ehhez hasonló vallomásával az 1389/1 oldalon is. Itt azt írja: "már első fiatal, sőt gyermekkoromban magamtól is találtam, átláttam, rámentem", hogy

2. A komplex számok aritmetikáján a komplex számoknak oszthatósági szempontból való vizsgálatát értjük. Ha a, b racionális egészek, akkor az a+bi komplex számot komplex egésznek vagy Gauss-egésznek nevezzük. Az absztrakt algebra terminológiáját használva a Gauss-egészek a komplex számok összeadására és szorzására nézve kommutatív gyűrűt alkotnak, akárcsak a racionális egészek az egész számok összeadására és szorzására nézve. A Gauss-egészek gyűrűjében is kiépíthető a racionális számelmélet analogonja, vagyis beszélhetünk az oszthatóság, a maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó, a prímek stb. fogalmakról, éppen úgy, mint a racionális egészek gyűrűjében.

A komplex számok aritmetikájának kidolgozása Gauss nevéhez fűződik. Új prímszám-elmélet keletkezett ezzel, amelyben a 3, mint komplex egész is prímszám, de

5 = (1 + 2i)(1 - 2i) már nem prímszám.

A komplex egészeket oszthatósági szempontból Bolyai János is sokat vizsgálta. Ő is rájött arra, hogy ezek halmazában az oszthatóság alaptulajdonságai megmaradnak. Ez is egyike azoknak a kérdéseknek, amelyekről a Bolyai-irodalomban eddig még semmit sem olvashattunk. Jól ismert ugyan a Responsio című munkája, amellyel Bolyai a komplex számok modern elméletének az egyik megalapozója, de a komplex számok oszthatóságával kapcsolatos eredményei még feldolgozásra várnak.

Gauss 1831-ben publikálta a komplex számokra vonatkozó munkáját. Nem tudjuk pontosan megmondani, hogy Bolyai János mikor dolgozta ki saját elméletét, de az biztos, hogy az 1830-as évek elején már ő is behatóan foglalkozott a komplex számokkal. Mivel Gauss munkája nyomtatásban is megjelent, míg Bolyai számításai csak kéziratos hagyatékának különböző lapjain őrződtek meg, így feladatunk csak annak a kérdésnek a megválaszolása lehet, hogy vajon Bolyai ismerte-e Gauss munkáját, vagy tőle függetlenül, önállóan dolgozott?

A rendelkezésünkre álló adatok azt igazolják, hogy Bolyai János egyedül érte el felfedezéseit. Az alábbiakban szeretném részletesebben megindokolni véleményemet. Több módon is megpróbálom ezt a föltevést alátámasztani.

Vegyük szemügyre először Bolyai Farkas és Gauss levelezését. A levelekben több alkalommal esik szó a komplex számokról is, s ha figyelmesen követjük a két jó barát írásait, azokból kiolvashatjuk, hogy Gauss elméletének fontosabb része nem jutott el Marosvásárhelyre.

Gauss annak idején két előadásban ismertette elméletét. Első előadását 1831. április 15-én, a másodikat pedig egy héttel később, április 23-án tartotta. Második előadásának szövege megtalálható a Göttingische gelehrte Anzeigen 1831-es évfolyamának 625-638-as oldalain. Erre az írásra, a megjelenés pontos helyét is megjelölve, maga Gauss hívta fel Bolyai Farkas figyelmét a nevezetes 1832. március 6-án írt levelében: "...benne találod néhány oldalon kifejtve a képzetes mennyiségekre vonatkozó nézeteimet, ..., nem nehéz megszerezni, ..."

Feltűnő, hogy a Göttingische gelehrte Anzeigen 1831-es évfolyamából hiányzik az első előadás szövege, pedig amint Gauss összes műveinek II. kötetéből megtudhatjuk, éppen ez az előadás tartalmazza a komplex számok oszthatóságával kapcsolatos legfontosabb problémákat, így például a komplex prímek leírását is. A folyóirat 1831-es példánya még eljutott Marosvásárhelyre (ma is megvan a Teleki-tékában), de további számai nem érkeztek meg. Így Gauss 1831. április 23-án tartott előadásának szövegét Bolyai János is ismerte. Jegyzeteiben több helyen hivatkozik rá, a Responsióban pedig még bíráló megjegyzéseket is fűz hozzá.

Érthetetlen, hogy Gauss miért nem értesítette Bolyai Farkast 1832-ben első előadásáról is, s arról a későbbiekben sem írt. Gauss 1832. március 6-ai levelére Bolyai Farkas 1835. április 20-án válaszolt s az "imagináriusokról szóló közlést" akkor köszönte meg. Közben hírt kapott Gauss első előadásáról is, mert már a következő, október 4-ei levelében ezt írta: "Szeretném tudni, hogy kijött-e a munkád az imagináriusokról s hol szerezhetném meg, mert a hirdetés óta semmit sem tudok". Majd évekkel később 1848. január 18-án így panaszkodott Gaussnak: "Hosszan vártam imaginárius-teoriád kifejtésére, és már felhagytam minden reménnyel. Csak néhány héttel ezelőtt olvastam egy kis magyarhoni munkában, hogy megjelent Müller Archiv der Mathematik I kötetének 4. füzetében, de semmi egyéb nem állt róla. "

Olvasva ezeket a sorokat elhihetjük, hogy Bolyai Jánosnak még 1848-ban sem lehetett tudomása Gauss munkájának fontosabbik részéről s így valóban önállóan alkotta meg az általa "prímtan"-nak nevezett komplex aritmetikát.

Föltevésünket alátámasztják még Bolyai János saját nyilatkozatai is, amelyeket különböző kéziratlapokról gyűjthetünk össze. Már cikkünkben is idéztük: "A prímek kirekesztő formulájának... sikerülnie kell, még pedig bármi idomúak legyenek." Nyilvánvaló utalás arra, hogy nemcsak a racionális egész prímek, hanem a komplex prímek képletének megtalálásában is reménykedik ekkor. Vagy: "... a prímek általam régóta az imagináriumokra is kiterjesztett elemi tulajdonságaiból..." Más helyen: "... az imagináriusokat is befoglalva, miről már Gauss megint még csak nem is szól. " Meggyőzőek a következő sorok is, amelyeket 1850 után jegyzett le Bolyai: "Igaz, hogy én éppen ezekben a vizsgálatokban, mikor e tárggyal majdnem egy negyed századdal ezelőtt foglalkoztam reájutottam a képzeteseknek igaz elméletére és ezt bővítettem, meg próbára tettem." Valóban próbára tette, hisz a komplex egészekkel kapcsolatos eredményei segítségével bizonyította be igen egyszerűen például Fermat karácsonyi tételét.

Legfőbb érvünk pedig az, hogy Bolyai János egyetlen följegyzésében sem említi Gauss munkáját (az 1831. április 15-ei előadásra gondolunk). Ő, aki más alkalommal sohasem mulasztotta el, hogy az írásaiban felhasznált bármilyen már ismert tételnek forrását ne idézte volna. Jegyzeteiben sokszor hivatkozott Euler, Lagrange, Vega, Gauss, Bolyai Farkas és mások műveire, pontosan megjelölve azokat az oldalszámokat vagy sokszor a paragrafusokat, amelyekben az általa alkalmazott eredmény megtalálható. Ha olvasta volna Gauss előadásának szövegét, akkor följegyzéseiben biztosan idézte volna azt.

Kéziratos hagyatékának tanúsága szerint Bolyai János a komplex egészek kérdésein is sokat tépelődött. Elméletéből nem készített összefüggő dolgozatot. Azt csak kéziratainak különböző lapjairól tudjuk összeállítani. Erről egy most készülő dolgozatban igyekszem beszámolni.

Most még csak azt szeretném bemutatni, hogy Bolyai milyen világosan megkülönbözteti egymástól a prímszámokat aszerint, hogy azokat mely számhalmazban vizsgálja. Így azokat a számokat, amelyek a racionális egészek gyűrűjében prímszámok (a "közönséges" prímszámok), tehát például a 2, 3, 5, 7... számokat főszámoknak, azokat, amelyek csak a komplex egészek gyűrűjében prímek, mint például az 1+1, 1+2i, 2-3i, ... komplex egészek tökélyes prímeknek, s végül azokat a számokat, amelyek úgy a racionális egészek, mint a komplex egészek gyűrűjében is prímek, azaz például a 3, 7, 11, ... (a 4k+3 alakú prímszámok) számokat pedig abszolút prímeknek nevezte.