Speciális mátrixok és mátrixsorozatok inverze, 
gazdasági alkalmazási lehetőségek

Dr. Tóth József

Debrecen
2009

Tartalomjegyzék

Előszó
1. Mátrixok, mátrixsorozatok inverze, jellegzetessége és szerepe a gyakorlati modellezés során
2. Speciális mátrixok és mátrixsorozatok inverze
3. Egyszerűsített gyakorlati alkalmazási példa

Előszó

Az 1970-es évek elején egy száz egynéhány egyenlőtlenségből és száz valahány ismeretlenből álló mezőgazdasági alkalmazási, lineáris programozási modellt vittem el Debrecenből Budapestre, mert akkor még csak ott volt olyan számítógép, amely ilyen, “nagyméretűnek számító” modell, megoldására képes volt.
Több mint kétórai gépi munka után sem sikerült a megoldás. Mint később kiderült, egy adat elírása miatt. A gépóráért fizetni kellett, s erre nem volt további pénzkeretem, tehát nem tudtam az adat kijavítása után újra gépre vinni a modellt. A feladat megoldása is sürgős volt, tekintve, hogy határidős, gyakorlati problémát kellett megoldani.
Gondoltam egy merészet!
Tekintve, hogy a modell speciális felépítésű és viszonylag üres volt, azaz viszonylag kevés nullától különböző adata volt, s az adatok nagyobb része is egyes és mínusz egyes, úgy véltem, hogy megpróbálom megoldani a modellt számítógép nélkül.
Az akkori szokások és lehetőségek szerint a modell kockás papíron (kockás papírtekercsből levágott darabon) volt megszerkesztve. A modellt kifüggesztettem a szoba falára. Egy munkatársam az íróasztalhoz ültettem, s diktáltam, hogy milyen műveleteket végezzen, (az akkor még kézi tekerős eszközzel), milyen számokkal, s azokat milyen rendben írja le. Alig több mint egy óra alatt sikerült a modellt megoldani!
Nem a gyors számolóképességünk tette ezt lehetővé, hanem az, hogy a modell – mint említettem – egy speciális mátrixot foglalt magába, ami lehetőséget adott, egy új megoldási mód alkalmazására.
Már akkor gondoltam arra, hogy talán érdemes lenne részletesebben megvizsgálni bizonyos speciális modelleket, illetve e modelleket reprezentáló speciális mátrixokat, mátrixsorozatokat különösen azok inverzének előállítási lehetőségét. 
Ezt annál inkább szükségesnek tartottam, mert később még nagyobb méretű modelleket is meg kellett oldanom számítógép nélkül, amelyek mérete megközelítette az 1000 ismeretlent és 1000 egyenlőtlenséget.
Felvetetődött tehát bennem annak a lehetősége, hogy az inverzek természetének ismeretében, esetleg mód lenne olyan számítógép program megírására is, amely az adatok beolvasásával egyidejűleg előállítaná a modellben meghatározott mátrix inverzét, vagy a mátrix particionálásával előállított minormátrixok inverzét, stb. Másként, arra is volna lehetőség, hogy adott lineáris programozási feladatot, vagy lineáris programozásra visszavezethető nemlineáris, egészértékű, vagy vegyes egészértékű feladatot, eleve úgy fogalmazzunk meg, hogy a modellben meghatározott mátrix particionálásával előállított minormátrix inverzét eleve megadjuk.     
Aztán ismét vissza-visszatértem a kérdésre, s 1978-ban jutottam el oda, hogy egy cikket írtam “Egy speciális elrendezésű modell költségmegtakarító megoldása” címmel, amely megjelent a Statisztikai Szemle 1978. évi 10. számában. Később, a Statisztikai Szemle 1987. évi 2-3. számában megjelent “Egy speciális mátrix és néhány tulajdonsága.” című cikkem, s végül ugyancsak foglalkoztam a témával a “Mezőgazdasági vállalatok automatizált tervezése” Mezőgazdasági Kiadó, 1981. az interneten a Magyar Elektronikus Könyvtárban is megtalálható (http://mek.oszk.hu/05200/05296) könyvemben.
Fenti munkáimban csak részben fejtettem ki a problémát, egyrészt a terjedelmi korlátok miatt, másrészt azért, mert például könyvemben ez a kérdés csupán apró motívumként szerepelt egy tágabb, komplexebb témakörben.
A továbbiakban részletesebben kívánok a problémával foglalkozni. A kérdés sokrétűsége miatt a teljességre most sem törekedhetek, de az eddigiektől részletesebb, sokoldalúbb kifejtésre mindenképpen.
A téma véleményem szerint önmagában is érdekes, de mint fentebb említett cikkeimből és könyvemből, valamint egyetemi jegyzeteimből is kitűnik, a mátrixok invertálása részletesebb megismerésének gyakorlati haszna is lehetséges. Igaz, könyvemben csak két speciális mátrixalkalmazás lehetőségét vettetem fel, de egyáltalán nem kizárt, sőt – véleményem szerint – bizonyos, hogy más speciális mátrixok is előfordulhatnak, vagy képezhetők a gyakorlatban, amelyeknél hasznos lehet, ha minden számítás nélkül is ismerjük, vagy fel tudjuk írni egy speciális mátrix inverzét. De a gyakorlati alkalmazás lehetőségétől függetlenül is érdekes lehet számunkra, hogy milyen eredményhez jutunk a különböző speciális mátrixok és mátrixsorozatok invertálása során.
Könyvem elején kénytelen vagyok olyan matematikai apparátust is felvonultatni, amely a matematikában nem járatos olvasó számára nehezen emészthető, vagy érdektelen. A későbbiekben azonban megkísérelem a problémát egyszerű, hétköznapi nyelven leírni, amelynek megértéséhez nem szükséges magasabb matematikai ismeret, annál inkább, mert a leírtakat egyszerű számpéldákkal illusztrálom.

1. Mátrixok, mátrixsorozatok inverze, jellegzetessége és szerepe a gyakorlati modellezés során

Ismeretes, hogy az 

1.      y=ax 

egyenletből az x kifejezhető az

2.   x=y/a 

                formában, ami viszont egyenértékű az

3.  x=y*1/a 

szorzattal, vagyis mindegy, hogy az a-val osztunk, vagy annak reciprok értékével szorzunk.
Ismeretes az is, hogy ha valamely számot reciprok értékével megszorzunk, eredményül 1-et kapunk, azaz

4.   a*1/a=1

Az 1/a számot az a inverzének is nevezzük és jelölésére az a-1 szimbólumot is használjuk.
Kvadratikus mátrixok esetén is beszélhetünk inverzről, és azt, (ha létezik) az

5.  A-1

szimbólummal jelöljük.
Ha az A mátrixot inverzével szorozzuk, (s tekintve, hogy a szorzat kommutatív, jobbról, vagy balról szorozhatunk), egységmátrixot kapunk eredményül, azaz

6.  A A-1= A-1A=E

Vagyis a kvadratikus A mátrix inverzén olyan n-ed-rendű mátrixot értünk, amelynek az A-val alkotott szorzata n-ed rendű egységmátrixot ad eredményül.

Ha az A kvadratikus mátrix és van inverze, akkor az

7.  Ax=b

egyenlet az inverz mátrix ismeretében az

8.  x=A-1b

Formában is felírható. Az inverz mátrix tehát felhasználható lineáris egyenletrendszerek (és egyenlőtlenségrendszerek) megoldására.

Ha az

9.  Ax=b

lineáris inhomogén reguláris egyenletrendszerben az A mátrix kvadratikus és nem szinguláris, akkor az egyenletrendszert megoldani annyit jelent, mint meghatározni azt az x vektort, amely az adott egyenletrendszert kielégíti. 
A megoldás szükséges és elégséges feltétele, hogy a b vektor benne feküdjék az A mátrix oszlopvektor terében, azaz, hogy a b vektor kifejezhető legyen az A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, vagyis

10.  a1x1 + a2x2 +…+ anxn = b

A b vektornak az a1,  a2, … a1 bázisvektorokra vonatkozó koordinátái éppen a keresett ismeretleneket adják.
Tekintve, hogy célom a mátrixok és mátrixsorozatok inverzének a vizsgálata nem térek ki az inhomogén irreguláris, a homogén reguláris, homogén irreguláris lineáris egyenletrendszerek és a lineáris egyenlőtlenségrendszerek vizsgálatára, sem pedig a mátrixok egyéb területének (rang, rend, faktorizáció, dimenzió és bázis, stb.) vizsgálatára, s nem térek ki az inverz numerikus meghatározására sem, ezek ismeretét feltételezem. 
Számunkra most a speciális mátrixok inverzének vizsgálata, valamint mátrixsorozatok inverzében található törvényszerűségek vizsgálata lényeges, azaz főleg olyan mátrixok és mátrixsorozatok inverzének a vizsgálata érdekes, amilyeneket, – tudomásom szerint, – eddig még nem vizsgáltak, s rendszerbe nem foglaltak.
A már hivatkozott könyvem 5. pontjában a mezőgazdasági vállalatok termelési szerkezetének, termelési technológiáinak és a termelési forrásainak egyidejű optimalizálása, a 6. pontjában pedig a termelési szerkezet, az átlaghozamok, a termelési technológiák és a termelési források egyidejű optimalizálása modelljét ismertettem, a mezőgazdasági vállalatok komplex döntésmegalapozása és tervezése témakörében. 
Fontosnak tartom annak a megjegyzését, hogy hasonló modellek, illetve a későbbiekben ismertetésre kerülő speciális mátrixok, nem csak a mezőgazdaságban, hanem általában a közgazdasági modellezésben, valamint az élet sok más területein is előfordulhatnak, illetve előfordulnak.
E modellek jellemzője, hogy általában nagyméretűek, megoldásuk idő- és költségigényes. Nem érdektelen tehát olyan megoldási lehetőségek keresése, amelyek gyorsabban, kevesebb költséggel vezetnek eredményhez, illetve lehetővé teszik, hogy betekintsünk az ilyen jellegű feladatok belső összefüggéseibe. 
Jellemzőjük még e modelleknek a speciális elrendezés is. Ezt vizsgálva olyan eljáráshoz jutunk, amely a modell megoldásához szükséges gépidőt is csökkentheti. E jelzett modellek is lehetnek különböző elrendezésűek, célszerű azonban azokat a következőkben tárgyalt blokkos elrendezésben szerkeszteni, vagy ennek megfelelően rendezni, nemcsak azért, mert ez az elrendezési mód teszi legegyszerűbben lehetővé a modellszerkesztés és az inverz meghatározásának az automatizálását, hanem szakmai megfontolások miatt is. Ez a felépítés biztosítja például, az egyes termékek optimális technológiai folyamatának rendszerbe foglalt leírását, a modell megoldásának eredményeként.
Az alapmodell a következő:

	x*	y*			
u1	A	0	=	0	
u2	B	F	≤	0	
u3	D	G	≤	b	
	p*	c*		0	
1.	Táblázat. Alapmodell

Ahol:
A – a termelési tevékenységek és a munkaműveletek összefüggését előíró mátrix;
B – a termelési tevékenységek és munkaműveletek fajlagos erőforrásigényeinek mátrixa (B> 0);
D, G – egyéb feltételekre (munkaerő, eszköz, takarmány, termelési korlátok, anyagkorlátok, beruházási korlátok, stb.) vonatkozó fajlagos tényezők mátrixa;
F – a forrásváltozók fajlagos kapacitására vonatkozó mátrix (F≤0) ;
b – az egyéb feltételekre vonatkozó korlátok (b> o)
p* – a termelési tevékenységek hozamait (pozitív előjelű elemek) és a munkaműveletek költségeit (negatív előjelű elemek) tartalmazó vektor;
c* – a forrásváltozók fix költségeinek vektora (c*≤o*);
x – a termelési és műveleti változók vektora;
y – a forrásváltozók vektora.

Méretét tekintve legnagyobb az A hipermátrix, minthogy a mezőgazdasági vállalatoknál sokféle termék termelése jöhet szóba, sokféle munkaműveletet kell elvégezni, s ezek megoldási módja és ideje is változatos. Általában az A hipermátrixhoz kapcsolódik a modellváltozóknak és a feltételeknek körülbelül kétharmada – háromnegyede, a modellben a változók száma 800–1500 között van, s e körül található a szükséges feltételek száma is.
Az A mátrix jellemzője, hogy kvázi-diagonálisan elhelyezkedő blokkokból épül fel:

A11				
	A22			
		.
.
.		
			Ann	

2. Táblázat. Kvázi – diagonálisan elhelyezkedő blokkokból álló hipermátrix.

Az A mátrix blokkjaiban az elemek elrendeződése speciális. E modellblokkban azt írjuk elő, hogy amennyiben például adott terméket meghatározott mennyiségben termelünk (xij1), ennek megfelelő mennyiségben el kell végezni a termék termeléséhez szükséges első műveletet (xij2), illetve az első művelet elvégzése maga után vonja a második művelet elvégzését, és így tovább a k-adik művelet elvégzését.
A gyakorlati tervezés során a modellblokkok nem mindig ilyen egyszerűek. A munka műveletek különböző módokon (pl. különböző eszközök felhasználásával, különböző erő – és munkagépkapcsolatokkal) és különböző időszakokban (dekádokban vagy hónapokban) végezhetők, valamint egymáshoz viszonyított arányaikban is változóak lehetnek. Ebből adódóan adott művelet több változóval képviseltethető, és ezek között minden esetben meghatározott (azonos, vagy eltérő arányú) kapcsolatot kell teremteni a feltételekben.
Fontos még megjegyezni, hogy a modell oszlopainak és sorainak sorrendje tetszőlegesen átrendezhető, ami nem befolyásolja a modell megoldásának az eredményét. Így például ha egy mezőgazdasági vállalat búzát, kukoricát, napraforgót, burgonyát, stb. termel, e termelési változók sorrendje bármikor tetszés szerint megváltoztatható, ami az eredményt nem befolyásolja. Ugyancsak nem befolyásolja az eredményt, hogy a munkaerő (szak- és segédmunkás), az erő és a munkagépek stb. milyen sorrendben szerepelnek a modellben, vagyis ezek (a modell feltételeinek) sorrendje is tetszés szerint átrendezhetők.
A problémát itt leegyszerűsítve tárgyaljuk, az ismertetésre kerülő eljárás azonban – erre utalni fogunk – bonyolultabb esetekben is alkalmazható. Az Aij blokk fontos jellemzője, hogy k számú változót és k-1 számú feltételt tartalmazó irreguláris mátrix. Az Aij mátrix utolsó oszlopának elhagyásával képzett Aij mátrix viszont kvadratikus, nem szinguláris mátrix, s vektorai egymástól függetlenek, tehát lehetséges az inverzük. (3. Táblázat)

xij1	xij2	xij3	xij4	 …	xijk-1	xijk	
1	-1						
	1	-1					
		1	-1				
				.			
				.			
				.			
					1	-1	

3. Táblázat. Kvadratikus, nem szinguláris mátrixblokk

ahol a könyvemben kifejtett mezőgazdasági modellt tekintve
xij1 az ij-edik blokk, termelési változója, (j-edik termelési tevékenység mérete);
xij2, xij3,…,xijk a j-edik termelési változóhoz szükséges munkaműveletek változói.
Egyszerűen megállapítható, hogy az Aij mátrix utolsó oszlopának elhagyásával képzett szűkített A’ij mátrix diagonális elemei egységek, a diagonális feletti (illetve a diagonálistól jobbra lévő) elemei mínusz előjelű egységek, s a többi elemei, így a diagonális alatti elemei is mind zérusok. (A zérus elemeket nem jelöltem, ezeket a cellákat üresen hagytam.) E mátrix inverze olyan felső trianguláris mátrix, amelynek diagonális elemei és a diagonális feletti elemei egységek, a diagonális alatti elemei nullák. Ezek szerint tehát az A’ij mátrix inverze, az A’ij-1 minden számolás nélkül felírható. Ha például az A’ij az alábbi szűkített mátrix,

xij1
	xij2	xij3	xij4	… 	xijk-1	xijk	
1	-1						
	1	-1					
		1	-1				
				.			
				.			
				.			
					-1		
					1	-1	

4. Táblázat. Szűkített A’ij mátrix

akkor ennek az inverze A’ij-1

xij1	xij2	xij3	… 	xijk-1	
1	1	1	…	1	
	1	1	…	1	
		1	…	1	
			.	.	
			.	.	
			.	.	
			…	1	

5. Táblázat. A’ij-1 inverzmátrix

Térjünk vissza az eredetileg megfogalmazott alapmodellre, amikor a termelési szerkezet, a termelési technológiák, a fajlagos hozamok és a termelési erőforrások, (munkaerő, termelési eszközök) egyidejű, egymással kölcsönhatásban történő optimalizálására alkalmazható lineáris programozási modellt vizsgáljuk. Particionáljuk modellünket a következőképpen:

	x’*	x’’*	y*			
U1	A’	A’’	0	=	0	
U2	B’	B’’	F	≤	0	
U3	D’	D’’	G	≤
>	b	
	p’*	p’’*	c*		0	

6. Táblázat. Matematikai modell

Ahol:

x– a termelési és a műveleti változók vektora, mely vektort az x’ és az x’’ vektorokra particionáltuk, ahol x’ vektorhoz rendeltük a termelési változókat és minden műveletből a legkedvezőbbnek tűnő műveleti változókat. (Itt a legkedvezőbb jelző még csupán műveleti szintű és a műveleteket összefüggéseiből kiragadó megítélés alapján adható meg, azaz a modellbeli célfüggvény koefficiensek alapján, mely megítélést a c* költségvektor módosíthatja). Az x’’ vektorhoz rendeljük valamennyi más, a legolcsóbbnál drágábbnak tűnő műveletet.
A – a termelési tevékenységek és a munkaműveletek kapcsolatait előíró mátrix, az előző értelemben A’ és A’’ mátrixokra particionálva.
B – a termelési tevékenységek és a munkaműveletek fajlagos erőforrásigényeinek (szintén particionált B’, B’’) mátrixa
D,G – az egyéb feltételekre (munkaerő, takarmánymérleg, termelési, anyagi, pénzügyi és beruházási korlátok, stb.) vonatkozó tényezők particionált mátrixa. (D’, D’’, G)
F – a forrásváltozók fajlagos kapacitására vonatkozó mátrix
b – az egyéb feltételekre vonatkozó korlátok
p* – a termelési és a műveleti változók célfüggvény értékei (p’*, p’’*)
y* – forrásváltozók vektora
c* – forrásváltozók célfüggvény értékeinek vektora

Végrehajtva a bázis-transzformációt az A’ generáló blokkal a következőket kapjuk:

	u*	x’’*	y*			
x’	A’-1	A’-1A’’	0	=	0	
u2	-B’A’-1	B’’-B’ A’-1 A’’	F	≤	0	
u3	-D’A’-1	D’’-D’ A’-1 A’’	G	≤
>	b	
	-p’*A’-1	p’’*-p’*A’-1 A’’	c*		0	

7. Táblázat. A bázis-transzformáció után kapott eredmény

A fentiekből látjuk, hogy a bázis-transzformáció csak az x’* és az x’’* – hoz tartozó blokkokat változtatta meg, ami természetes, tekintve, hogy a feladat első blokksorában A mátrix kivételével zérus-blokkok szerepelnek.
Láttuk, hogy az A’ mátrix inverze (A’-1) olyan kvázi-diagonálisan elhelyezkedő felső trianguláris mátrixblokkokból áll (5 Táblázat), amelyeknek zérustól különböző elemei egységek. Ha például egy B mátrixot ilyen mátrixblokkal szorzunk, a B mátrixoszlop vektorainak kommúlációját kapjuk. Például ha a B mátrixot

xij1	xij2	. . . 	xijk-1	
b11	b12	. . . 	b1k-1	
b21	b22	. . . 	b2k-1	
 		. 
     .
         .		
bk-11	bk-12	. . . 	b(k-1)(k-1)	

8. Táblázat. B mátrix

szorozzuk jobbról olyan felső trianguláris mátrixszal, amelynek a diagonális és a feletti elemei egységek, azaz

xij1	xij2	…	xijk-1	
1	1	…	1	
	1	…	1	
		.
   .
      .		
			1	

9. Táblázat. Felsőtrianguláris eredménymátrix

akkor tehát a B mátrix oszlopvektorainak kommúlációját kapjuk, azaz

xij1	xij2	…	xijk-1	
b11	b11+b12	…	b11+ b12+…+b1k-1	
b21	b21+b22	…	b21+ b22+…+b2k-1	
.
.
.	.
.
.	. . . 
. . .
. . .	.
.
.	
bk-11	bk-11+bk-12	. . . 	bk-11+ bk-12+…+b(k-1)(k-1)	

10. Táblázat. Kommúlált mátrix

Hasonlóképpen nyerjük a – B’A’-1,  -D’A’-1, -p’* A’-1 szorzatokat, utóbbi esetben természetesen a sorvektor elemeinek halmozásaként.
Egyszerű példa segítségével könnyen ellenőrizhető, hogy az 7. Táblázat szerinti A’-1A’’ olyan mátrixot eredményez, amelynek diagonálisan elhelyezkedő mátrixai olyan oszlopvektorok, amelyek az eredeti Aij mátrix sorainak számával megegyező elemet tartalmaznak. 
Az elemek mindegyike -1AB’’- B’(A’-1A") és D’’-D’(A’-1A’’) a B mátrix Aij mátrixhoz kapcsolódó elemeinek soronkénti összege. Ugyanez vonatkozik értelemszerűen a célfüggvényekre is.
Az előbbiekből következik, hogy a 7. Táblázat szerinti helyzet minden különösebb számítás nélkül felírható, illetve csupán a vektorok elemeinek halmozott összeadására szorítkozik (ez a számítógépbe történő beolvasás folyamán elvégezhető); természetesen az előjeleket ellenkezőre változtatjuk.
Ezáltal viszont előállítottunk egy olyan közbenső bázismegoldást, amikor a modellváltozók nagyobb részét, bevontuk a bázisba. Igaz, hogy a bázisba vont változók értéke egyelőre nulla, de eljutottunk a feladat jelentős átrendezéséhez. 
A –p’’A’-1 elemei általában negatív, viszont a p’’*-p’*(A’-1A’’) elemei általában pozitív előjelűek. (Ellenkező esetben olyan tevékenység szerepel a modellben, amely biztosan nem jövedelmező, hiszen a termék termelési értéke a közvetlen műveleti költségeket sem fedezi, nem is beszélve a gépek fix költségeiről. 
Ha a modellben ilyen tevékenység van, az természetesen akkor szerepelhet a megoldásban, ha azt egyenlettel, vagy alsó korláttal előírjuk. A megoldás tehát a p’’*-p’* (A’-1A’’) szerint folytatható, az x’’ valamely eleme a bázisba bevonható. (Érdekesség viszont, hogy a bázisba vont változók egy ideig még továbbra is nulla értéket vehetnek fel. Közben azonban c* elemei előjelet váltanak és y* elemei is a bázisba kerülnek, majd az x’*, x’’ és y* több bázisba vont eleme vesz fel egyszerre nullától különböző pozitív értéket.)
Összefoglalva tehát egy nagyméretű modell megoldását egy olyan közbenső bázismegoldásból kiindulva kezdhetjük el, amikor a változóknak körülbelül 60-75 %-át már bevontuk a bázisba, tehát a számításoknál igen jelentős gépidőt takaríthatunk meg.
Az eddigiek során a problémát lényegesen leegyszerűsítettük. A gyakorlati tervezés ilyen egyszerűsítéseket nem tesz lehetővé, azonban az ismertetett eljárás, bonyolultabb esetekben is jól alkalmazható és jelentős segítséget nyújthat.
Nem célom e helyütt a szakmai alkalmazásokba mélyedni, s ennek során a megalkotandó matematikai modellt részletesen taglalni, ezt az olvasó a MEK-ben megjelent könyvemben részben megtalálhatja. Jelenleg csak egy igen leegyszerűsített gyakorlati feladat megoldását fogom a 3. fejezetben bemutatni. Most csak annyit jegyzek meg, hogy a gyakorlatban előforduló bonyolult modellek esetében is megvan a lehetősége annak, hogy a modell megfelelő rendezésével és particionálásával az Aij, mátrixblokkal és az x* vektorral előállítsunk olyan modellblokkot, amely invertálható, s az előbbiekben kifejtettek alkalmazhatók, tehát a számítások ilyenkor is célszerűen elvégezhetők. A továbbiakban foglalkozzunk a speciális mátrixok és mátrixsorozatok inverzének megismerésével.

2.  Speciális mátrixok és mátrixsorozatok inverze

Tegyük tehát vizsgálat tárgyává az említett speciális mátrixokat és mátrixsorozatokat és azok inverzeit. Az egységesség kedvéért a szemléltetés céljából mindvégig 10x10-es diagonális mátrixokat használok. 
A speciális mátrixokat S-el fogom jelölni, az egységmátrixot is, kifejezve ezzel, hogy az egységmátrix is egy speciális mátrix, s ismerjük, hogy kitüntetett jelentősége miatt azt külön jelöléssel (E) szoktuk megkülönböztetni, de ettől jelen esetben eltekintek.
Annak érdekében, hogy az egyes speciális mátrixokat egymástól egyszerűen meg tudjuk különböztetni, alsó indexként jelölni fogom jellemzőjüket.
Vegyük tehát először az egységmátrixot, mint speciális mátrixot, azaz

11.   S1=E

Az S1 olyan mátrix, amelynek diagonális elemei egységek, a többi eleme nulla. Ennek a speciális mátrixnak az inverze 

12.   S1=E=S-1= E-1

Vagyis

1.	Tétel: Az egységmátrix és inverze megegyezik, vagyis S1, (azaz E) egységmátrix inverze maga az egységmátrix, mint ahogyan az 1 reciprok értéke, azaz inverze is 1, azaz 1/1=1. Tehát S1= S-1 az alábbiak szerint:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

11. Táblázat. S1 mátrix és annak inverze

Ábrázolva a mátrixot a következőket kapjuk:

1. Ábra. S1 mátrixnak és inverzének ábrája

Az ábrából is jól érzékelhető, hogy a diagonális elemek 1, a diagonálistól különböző elemek 0 értéket vesznek fel.
Azonnal felvethető a kérdés, hogy mi történik akkor, ha az egységmátrixban a diagonális elemeket kicseréljük, s egy sorozatot képezünk, vagyis a diagonális elemekként 1 helyett 2, 3, stb., azaz h értékeket szerepeltetünk, s a diagonálistól eltérő elemek továbbra is nullák?
Vegyük tehát az Sh mátrixot, azaz olyan mátrixot, amelynek diagonális elemei különböző h értékeket vehetnek fel, (a számegyenes bármely értékét felvehetik, tehát végtelen számú mátrixból álló sorozatot képezhetünk), a többi eleme nulla és határozzuk meg annak inverzét. Tegyük fel, hogy h=-3.

Az S-3 tehát a következő:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	-3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	-3	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	-3	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	-3	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	-3	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	-3	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	-3	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	-3	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	-3	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-3	

12. Táblázat. S-3 mátrix

Ennek ábrája:

2.	Ábra. S-3 mátrix ábrája
és inverze (S-3)-1

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	-0,3333	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
x2	0	-0,3333	0	0	0	0	0	0	0	0	
x3	0	0	-0,3333	0	0	0	0	0	0	0	
x4	0	0	0	-0,3333	0	0	0	0	0	0	
x5	0	0	0	0	-0,3333	0	0	0	0	0	
x6	0	0	0	0	0	-0,3333	0	0	0	0	
x7	0	0	0	0	0	0	-0,3333	0	0	0	
x8	0	0	0	0	0	0	0	-0,3333	0	0	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	-0,3333	0	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-0,3333	

13. Táblázat. (S-3)-1 mátrix
Az inverz ábrája:

3. Ábra. (S-3)-1 mátrix ábrája

Látjuk tehát, hogy ha h=-3, akkor az inverz mátrix diagonális elemei 1/3, azaz 0,33333., azaz egyharmad, s mint tudjuk a diagonálistól különböző elemek nullák.
Tegyük fel, hogy h=-2  Az S-2 tehát a következő:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	-2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	-2	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	-2	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	-2	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	-2	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	-2	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	-2	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	-2	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	-2	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-2	

16. Táblázat. (S2) mátrix

Ennek ábrája:

4.	Ábra. (S2) mátrix ábrája

és inverze

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	-0,5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
x2	0	-0,5	0	0	0	0	0	0	0	0	
x3	0	0	-0,5	0	0	0	0	0	0	0	
x4	0	0	0	-0,5	0	0	0	0	0	0	
x5	0	0	0	0	-0,5	0	0	0	0	0	
x6	0	0	0	0	0	-0,5	0	0	0	0	
x7	0	0	0	0	0	0	-0,5	0	0	0	
x8	0	0	0	0	0	0	0	-0,5	0	0	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	-0,5	0	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-0,5	

17. Táblázat. (S2)-1 mátrix

Az inverz ábrája:

5.	Ábra. (S2)-1 mátrix ábrája

E szerint tehát (S2)-1 olyan mátrix, amelynek diagonális elemei 1/2, azaz 0,5 értéket vesznek fel, vagyis az eredeti értékeknek a reciprok értékei.

2. Tétel: Ha az egységmátrix diagonális értékeit 1 helyett bármely értékre cseréljük, s egy sorozatot képezünk, a mátrix inverze azoknak az értékeknek a reciprok értékeit (inverzeit) fogják tartalmazni.
Ezt az eddigiek alapján könnyű belátni, ezért nem tartom szükségesnek további számszerű példával történő szemléltetését.

Ha a diagonális értékek negatív előjelűek, akkor természetesen az inverz mátrix elemei is negatív előjelűek lesznek. 
Az viszont természetes, hogy a zérus mátrixnak nincs inverze, mint ahogyan a nulla értéknek sincs reciprok értéke.
Érdekes lehet, hogy milyen módon lehet adott mátrixokat több mátrixként szétbontani azok inverzét előállítani, majd az így előállított mátrixból lehetséges-e az eredeti mátrix inverzét megkapni.

Legyen a vizsgált mátrixunk ismét S3, azaz 

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	3	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	3	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	3	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	3	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	3	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	3	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	

18. Táblázat. (S3) mátrix

Bontsuk ezt három S9 mátrixra, azaz három darab alábbi mátrixra

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	9	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	9	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	9	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	9	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	9	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	9	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	9	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	9	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	9	

19. Táblázat. (S9) mátrix

Ennek ábrája

6.	Ábra. (S9) mátrix ábrája

És inverze (S9)-1

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,111	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
x2	0	0,111	0	0	0	0	0	0	0	0	
x3	0	0	0,111	0	0	0	0	0	0	0	
x4	0	0	0	0,111	0	0	0	0	0	0	
x5	0	0	0	0	0,111	0	0	0	0	0	
x6	0	0	0	0	0	0,111	0	0	0	0	
x7	0	0	0	0	0	0	0,111	0	0	0	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,111	0	0	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,111	0	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,111	

20. Táblázat. (S9)-1 inverz mátrix
Az inverz ábrája

7.	Ábra. (S9)-1 mátrix ábrája

Képezzük az S9*1/3 szorzatot. Eredményül az S9 mátrixot kapjuk.
Képezzük most az inverz mátrixból az alábbi szorzatot 3*(S9)-1. Megkapjuk az (S3)-1 inverz mátrixot.

3. Tétel: Ha valamely mátrix minden elemét egy általunk választott számmal osztunk, (vagy ami ugyanaz, az adott szám reciprok értékével szorzunk), majd meghatározzuk az így nyert mátrix inverzét, az inverz mátrixnak az adott számmal képzett szorzata az eredeti mátrix inverzét adja. 
Hasonlóképpen lehet bontani mátrixokat természetesen nem csak azonos, de egymástól különböző mátrixokra is. Ennek vizsgálatát az olvasóra bízom.
Ezek az egyszerűbb esetek, de lépjünk tovább a speciális mátrixok vizsgálatában.
Jelöljük S1-1 – el az olyan mátrixot, amelynek diagonális elemei egységek, a diagonálistól jobbra lévő elemek pedig -1 értékűek, kivéve természetesen a mátrix utolsó oszlopvektorát, amely után már nincs más elem. (Ez a speciális mátrix szerepelt kiindulásként hivatkozott könyvemben és cikkeimben)

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

21. táblázat. S1-1 mátrix

Az ábra jól jellemzi a mátrixot pozitív és negatív értékeivel

  
10. Ábra. S1-1 mátrix ábrája

Ennek inverze (S1-1)-1

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
x2	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
x3	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	
x4	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	
x5	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	
x6	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	
x7	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	
x8	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

22. Táblázat. (S1-1)-1 inverz mátrix

Az inverz ábrája mutatja, hogy felső trianguláris mátrixról van szó, nem zérus elemei 1 értéket vesznek fel.

11. Ábra. (S1-1)-1 inverz mátrix ábrája.

4. Tétel: Ha egy mátrix diagonális elemei pozitív előjelű egységek, a tőlük jobbra lévő elemek negatív előjelű egységek, a többi eleme nulla, annak inverze olyan felső trianguláris mátrix, amelynek diagonális elemei és a felett lévő elemei egységek, a diagonális alatti elemek zérusok.  

Könnyű belátni, hogy ennek a mátrixnak az inverze, azaz ((S1-1)-1)-1 = S1-1, azaz az eredeti mátrix.
Felmerül rögtön az a kérdés, hogy milyen lehet annak a mátrixnak az inverze, amelynek diagonális elemei egységek, a tőlük jobbra lévő elemek pedig -2 értéket vesznek fel? Legyen tehát S1-2 mátrix a következő:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-2	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-2	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-2	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-2	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-2	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-2	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-2	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-2	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

23. Táblázat. S1-2 mátrix.

Ábrázolásától eltekinthetünk, hiszen ugyanazt kapnánk, mint az S1-1 láttuk, annyi különbséggel, hogy a negatív irányú oszlopok kétszer akkorák, mint a pozitív irányúaké.

Ennek inverze azaz (S1-2)-1

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	
x2	0	1	2	4	8	16	32	64	128	256	
x3	0	0	1	2	4	8	16	32	64	128	
x4	0	0	0	1	2	4	8	16	32	64	
x5	0	0	0	0	1	2	4	8	16	32	
x6	0	0	0	0	0	1	2	4	8	16	
x7	0	0	0	0	0	0	1	2	4	8	
x8	0	0	0	0	0	0	0	1	2	4	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	2	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

24. Táblázat. (S1-2)-1 inverz mátrix.

Az inverz ábrája érdekes trianguláris mátrixot szemléltet, amelynél az inverz mátrix elemei az xj csökkenése, és az ei növekedése nyomán exponenciálisan növekvő értékeket mutat.

12. Ábra. (S1-2)-1 inverz mátrix ábrája.

5. Tétel: Ha egy mátrix diagonális elemei pozitív előjelű egységek, a tőlük jobbra lévő elemek pedig negatív előjelűek és értékük 2, akkor a mátrix inverzének elemei soronként balról jobbra haladva és egy-egy elemmel (első elemmel) rövidítve, az első eleme 1, majd az elemek exponenciálisan növekednek. Ugyanezt tapasztaljuk, ha alulról felfelé haladunk, s az utolsó oszlopból indulunk ki. Ez esetben a legalsó elem 1, s az oszlopok hosszának az utolsó elem elhagyásával történő rövidítése és minden oszlopot 1-el kezdve az elemek exponenciálisan növekednek. 
Vagyis most egy olyan felső trianguláris mátrixot kaptunk, amelynek elemei sorok szerint tekintve 1-el kezdődnek és minden lépésben megkétszereződnek, illetve ugyanezt tapasztaljuk, ha a mátrixot oszloponként szemléljük, alulról felfelé. Természetesen az ellenkező irányból szemlélve az adatokat, azok lépésenként feleződnek.
Fentiekből az következik, hogy az ilyen mátrix inverze, bármilyen nagyméretű legyen is, minden számítás nélkül felírható. 
Ha viszont a diagonálistól jobbra lévő elemeket -2-ről -3-ra váltjuk át, azaz a S1-3 mátrixot vizsgáljuk, tehát

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-3	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-3	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-3	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-3	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-3	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-3	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-3	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-3	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

25. Táblázat. S1-3 mátrix

majd meghatározzuk ennek inverzét, az alábbi mátrixhoz jutunk: 

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	1	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	
x2	0	1	3	9	27	81	243	729	2187	6561	
x3	0	0	1	3	9	27	81	243	729	2187	
x4	0	0	0	1	3	9	27	81	243	729	
x5	0	0	0	0	1	3	9	27	81	243	
x6	0	0	0	0	0	1	3	9	27	81	
x7	0	0	0	0	0	0	1	3	9	27	
x8	0	0	0	0	0	0	0	1	3	9	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	3	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

26. Táblázat. (S1-3)-1 mátrix

Most tehát az előbbi kétszereződés helyett az adatok megháromszorozódását tapasztaljuk. Könnyű belátni, hogy sorozatot képezve -4 esetén négyszereződnek, -5 esetén ötszöröződnek az adatok, stb. Ábrázolásától eltekinthetünk, az előbbiekhez hasonló ábraképet kapunk, de a diagramok még meredekebb emelkedést mutatnak.

6. Tétel: Ha adott mátrix diagonális elemei pozitív előjelű egységek, a tőlük jobbra lévő elemek pedig negatív előjelűek és értékük h=2,…,n, akkor az adott mátrix inverzének diagonális elemei egységek, a diagonálistól jobbra lévő elemek pedig, soronként balról egy elemmel rövidebbek, és 1-el kezdődnek, s az elemek az őket megelőző elemek h szorosai. Ugyanezt tapasztaljuk, ha az oszlopokat alulról felfelé vizsgáljuk, az utolsó oszloppal kezdve.
Természetesen a vizsgálatot meg is fordíthatjuk, s jobbról, balra, vagy felülről lefelé haladhatunk, stb.
Az így megfogalmazott tétel, illetve törvényszerűség alapján az olyan mátrixok inverzét, amelyek diagonális elemei pozitív előjelű egységek, s a tőlük jobbra lévő elemek negatív előjelűek és értékük h, minden számítás nélkül felírhatjuk.
Most fordítsuk meg a problémát, úgy, hogy a diagonális elemek értéke legyen 2, a tőlük jobbra lévő elemek értéke pedig -1, azaz vizsgáljuk a S2-1 mátrixot, tehát:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	2	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	2	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	2	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	2	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	2	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	2	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	2	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	2	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2	

27. Táblázat. S2-1 mátrix
Ábrázolva a mátrixot a következő képet kapjuk:

13. Ábra. S2-1 mátrix

Most tehát a negatív irányú oszlopok rövidebbek. 
Ennek inverze (S2-1)-1:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0313	0,0156	0,0078	0,0039	0,0020	0,0010	
x2	0	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0313	0,0156	0,0078	0,0039	0,0020	
x3	0	0	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0313	0,0156	0,0078	0,0039	
x4	0	0	0	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0313	0,0156	0,0078	
x5	0	0	0	0	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0313	0,0156	
x6	0	0	0	0	0	0,5	0,25	0,1250	0,0625	0,0313	
x7	0	0	0	0	0	0	0,5	0,2500	0,1250	0,0625	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,5000	0,2500	0,1250	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5000	0,2500	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5000	

28. Táblázat. (S2-1)-1 inverz
Az inverz ábrája:

14. Ábra. (S2-1)-1 inverz mátrix ábrája

Az ábra szemlélteti, hogy a diagonális elemek értéke a legmagasabb (0,5), s az ei értékek növekedésével, s az xj értékek csökkenésével az inverz elemeinek értéke lassuló ütemben csökken, vagy másként az xj elemek növekedésével, s az ei értékek csökkenésével az inverz értékek gyorsuló ütemben növekednek.  

7. Tétel: Ha olyan mátrixszal van dolgunk, amelynek diagonális elemei pozitív előjelűek és értékük 2, a diagonálistól jobbra lévő elemek negatív előjelű egységek, akkor ennek invertálása olyan mátrixot eredményez, amelynek soraiban, balról jobbra, vagy oszlopaiban alulról felfelé haladva az elemek 0,5-el kiindulva, lépésenként feleződnek. Az ilyen mátrix inverze tehát – bármilyen méretű mátrix legyen is az – minden számítás nélkül felírható.
Legyen most mátrixunk olyan, hogy a diagonális elemei pozitív értékűek és értékül 3, a tőlük jobbra lévő elemek pedig negatív előjelű egységek, azaz S3-1

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	3	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	3	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	3	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	3	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	3	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	3	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	3	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	3	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	

29. Táblázat. S3-1 mátrix

15. Ábra. S3-1 mátrix

A mátrix inverze:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,0014	0,0005	0,0002	0,0001	0,00002	
x2	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,0014	0,0005	0,0002	0,00005	
x3	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,0014	0,0005	0,00015	
x4	0	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,0014	0,00046	
x5	0	0	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,00137	
x6	0	0	0	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,00411	
x7	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,01233	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,1110	0,03700	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,3330	0,11100	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,33333	

30. Táblázat. S3-1 mátrix inverze

16. Az inverz ábrája.

Könnyű belátni, (ezért a továbbiak számszerű bemutatástól eltekinthetünk), hogy ha a 2 helyett 3, 4, stb. számokat szerepeltetünk egy sorozatban, akkor az elemek harmadolódnak, negyedelődnek, stb. Ennek alapján az előbbi tételt általánosíthatjuk az alábbiak szerint:

8. Tétel. Ha olyan mátrixszal van dolgunk, amelynek diagonális elemei pozitív előjelűek és értékük h, a diagonálistól jobbra lévő elemek negatív előjelű egységek, akkor ennek invertálása olyan mátrixot eredményez, amelynek soraiban, balról jobbra, vagy oszlopaiban alulról felfelé haladva az elemek 1/h-val kiindulva, lépésenként h-val osztódnak. Az ilyen mátrix inverze tehát – bármilyen méretű mátrix legyen is az – minden számítás nélkül felírható.
Vizsgáljuk most meg az (S2-2) mátrixot, azaz amikor a diagonális elemek értéke 2, az attól jobbra lévő elemek értéke -2, azaz:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	2	-2	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	2	-2	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	2	-2	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	2	-2	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	2	-2	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	2	-2	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	2	-2	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2	

31. Táblázat. S2-2 mátrix

Ennek (S2-2)-1 inverze olyan felső trianguláris mátrix, amelynek minden zérustól különböző eleme egyketted, azaz 0,5, tehát:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	
x2	0	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	
x3	0	0	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	
x4	0	0	0	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	
x5	0	0	0	0	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	
x6	0	0	0	0	0	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	
x7	0	0	0	0	0	0	0,5	0,5	0,5	0,5	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,5	0,5	0,5	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	0,5	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	

32. Táblázat. (S2-2)-1 inverzmátrix

Könnyen ellenőrizhető, hogy S3-3 inverze esetén 1/3, illetve S4-4 inverze esetén 1/4 értékeket kapunk. Ábrázolásától eltekinthetünk.

9. Tétel: Ha egy mátrix diagonális elemei pozitívek és értékük h, a tőlük jobbra lévő elemek előjele negatív és értékük szintén h, akkor ennek inverze olyan felső trianguláris mátrix, amelynek diagonális elemei és attól jobbra lévő elemei pozitív előjelűek és értékük 1/h a diagonális alatti elemeik, természetesen zérusok.
Vegyük most a S3-1 mátrixot, amikor a diagonális elemek értéke 3, az attól jobbra eső elemek értéke -1, azaz

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	3	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	3	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	3	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	3	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	3	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	3	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	3	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	3	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	

33. Táblázat. S3-1 mátrix

A mátrix inverze (S3-1)-1

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,0014	0,0005	0,0002	 0,0001 	 0,00002 	
x2	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,0014	0,0005	 0,0002 	 0,00005 	
x3	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	0,0014	 0,0005 	 0,00015 	
x4	0	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	0,0041	 0,0014 	 0,00046 	
x5	0	0	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	0,0123	 0,0041 	 0,00137 	
x6	0	0	0	0	0	0,3333	0,1111	0,0370	 0,0123 	 0,00411 	
x7	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,1111	 0,0370 	 0,01233 	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	 0,1110 	 0,03700 	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	 0,3330 	 0,11100 	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	 0,33333 	

34. Táblázat. (S3-1)-1 inverzmátrix

Eredményül olyan mátrixot kapunk, ahol a soronként jobbra lévő és oszloponként felfelé lévő elemek az őket megelőző elemek 1/3 értékét veszik fel.

10. Tétel. Ha egy mátrix diagonális elemei pozitívok és értékük 3, az attól jobbra eső elemek értéke -1, akkor ennek inverze olyan mátrix, amelyben a soronként jobbra lévő, illetve oszloponként felfelé lévő elemek az előző elemek 1/3 értékét veszik fel.

Ábrázoljuk ezeket a mátrixokat:

17. Ábra. S3-1 mátrix ábrája

18. Ábra. (S3-1)-1 inverzmátrix ábrája

Az előbbihez hasonló képet kapunk
Legyen most mátrixunk S3-2, azaz olyan mátrix, amelyben a diagonális elemek értéke 3, s a tőlük jobbra lévő elemek értéke -2. 

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	3	-2	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	3	-2	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	3	-2	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	3	-2	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	3	-2	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	3	-2	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	3	-2	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-2	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	3	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	

35. Táblázat. S3-2 mátrix

A mátrix inverze (S3-2)-1

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,3333	0,2222	0,1481	0,0988	0,0658	0,0439	0,0293	0,0195	0,0130	0,0087	
x2	0	0,3333	0,2222	0,1481	0,0988	0,0658	0,0439	0,0293	0,0195	0,0130	
x3	0	0	0,3333	0,2222	0,1481	0,0988	0,0658	0,0439	0,0293	0,0195	
x4	0	0	0	0,3333	0,2222	0,1481	0,0988	0,0658	0,0439	0,0293	
x5	0	0	0	0	0,3333	0,2222	0,1481	0,0988	0,0658	0,0439	
x6	0	0	0	0	0	0,3333	0,2222	0,1481	0,0988	0,0658	
x7	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,2222	0,1481	0,0988	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,2222	0,1481	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,2222	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	

36. Táblázat. (S3-2)-1 mátrix inverze

11. Tétel. Ha egy mátrix diagonális elemei pozitív előjelűek és értékük 3, míg a tőlük jobbra lévő elemek értéke -2, ennek inverze olyan mátrix, ahol a sorok tekintetében balról jobbra, illetve az oszlopok tekintetében alulról felfelé haladva az elemek az őket megelőző elem 2/3-ad értékének felelnek meg. Hasonlóképpen amennyiben 3 helyett 4 értéket írunk a diagonálisba, akkor az egymást követő elemek az őket megelőző elem 2/4 értékét adják, ha 5 értéket írunk, akkor 2/5 értéket, ha 6-ot írunk akkor 2/6 értéket kapunk és így tovább, vagyis a hányados megfelel a diagonálisba írt értéktől jobbra lévő elem és a diagonális elem hányadosának.

Ábrázoljuk a mátrixot és inverzét

19. Ábra. (S3-2) mátrix

20. Ábra. (S3-2)-1 inverz ábrája

Legyen mátrixunk S3-3, azaz

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	3	-3	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	3	-3	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	3	-3	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	3	-3	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	3	-3	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	3	-3	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	

37. Táblázat. S3-3 mátrix

Ennek inverze (S3-3)-1

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	
x2	0	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	
x3	0	0	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	
x4	0	0	0	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	
x5	0	0	0	0	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	
x6	0	0	0	0	0	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	
x7	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,3333	0,3333	0,3333	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,3333	0,3333	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,3333	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	

38. Táblázat. (S3-3)-1 inverzmátrix
13. Tétel. Ha adott mátrix diagonális elemei pozitívak és értékük 3, a tőlük jobbra lévő elemek negatívak és értékük szintén 3, akkor a mátrix inverze olyan felső trianguláris mátrix, amelynek diagonális elemei és a fölött lévő elemei 1/3 értéket vesznek fel.
  Ábrázoljuk a mátrixot és inverzét:

21. Ábra. S3-3 mátrix ábrája

22. Ábra. (S3-3)-1 inverzmátrix ábrája

Az eddigiek során 13 tételt fogalmaztunk meg. Hasonlóan járhatnánk el a továbbiakban is, bár esetenként bonyolultabb helyzettel állunk szembe. A terjedelmességet kerülve a továbbiakban az eredmények tételként történő megfogalmazását az olvasóra bízzuk.
Most vizsgáljunk meg egy olyan S1-1 típusú mátrixot, amely azonban egyes elemeiben renitensen eltér az eddig tárgyalttól.
Tegyük fel, hogy az S mátrix első 4 vektora az S1-1, szerint alakul, a negyedik és az ötödik vektora viszont 1:2 arányban viszonyul egymáshoz, tehát S1-2 és a továbbiakban szintén az S1-1 arány adódik, azaz

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-2	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	
  
39. Táblázat. S1-1, S1-2, S1-1, mátrix

23. Ábra. S1-1, S1-2, S1-1, mátrix ábrája

Az ábra jól mutatja a kiugró értéket.

Ennek inverze:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	
x2	0	1	1	1	2	2	2	2	2	2	
x3	0	0	1	1	2	2	2	2	2	2	
x4	0	0	0	1	2	2	2	2	2	2	
x5	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	
x6	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	
x7	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	
x8	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

40. Táblázat. S1-1, S1-2, S1-1, mátrix inverze

24. Ábra. S1-1, S1-2, S1-1, mátrix inverz ábrája

Látjuk, hogy a mátrixot három blokk ábrázolja. Ebből két blokk olyan felső trianguláris mátrixblokk, amely elemeinek értékei egységek, egy blokk pedig olyan téglalap alakú, amely elemeinek értékei kettesek. Természetesen valamennyi elem pozitív.
Most tegyük fel, hogy az ötödik vektor után visszaáll az azt megelőző vektorokhoz való 1:1 arány, tehát csak az 5 vektor renitens, azaz mátrixunk a következő:  

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-2	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	2	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

41. Táblázat. Visszaállított arányú S1-1, S1-2, S2-1, S1-1, mátrix
Ennek ábrája:

25. Ábra. Visszaállított arányú mátrix ábrája

A mátrix inverze:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
x2	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
x3	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	
x4	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	
x5	0	0	0	0	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	
x6	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	
x7	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	
x8	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

42. Táblázat. Az (S1-1, S1-2, S2-1, S1-1)-1 inverz mátrix
Az inverz ábrája:

26. Ábra. Az (S1-1, S1-2, S2-1, S1-1)-1 inverz mátrix ábrája

Most azt észleljük, hogy az oszlopok magassága, egy oszlopsor kivételével azonos. Egy oszlop magassága a többi magasságának a fele.
Ez utóbbi két mátrix típusa biztosan előfordul a gyakorlatban, például a már hivatkozott könyvemben az 56 oldal, valamint a 64 oldal után következő táblázatokban.
Vegyünk most egy olyan mátrixot, amelynek diagonális elemei a bal felső cellától jobb alsó celláig változó pozitív számok, a tőlük jobbra lévő elemek pedig változó negatív számok. Jelöljük ezt Sh-k szimbólummal, arra utalva, hogy az első érték pozitív, a második negatív, s ezek különböző értéket vehetnek fel.
Vizsgáljunk meg elsőként egy olyan mátrixot, amelynek diagonális elemei a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig 1-től 10-ig, a tőlük jobbra lévő elemek pedig -1-től -9-ig változnak, a következő táblázatban foglaltak szerint:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	2	-2	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	3	-3	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	4	-4	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	7	-7	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	8	-8	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	9	-9	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	10	

43. Táblázat. Sh-k mátrix (h=1,2,…,10, k=-1,-2,…,-9)

Ennek ábrája:

27. Ábra. Sh-k mátrix (h=1,2,…,10, k=-1,-2,…,-9) ábrája

A mátrix inverze:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	1	0,5	0,333333	0,25	0,2	0,166667	0,142857	0,125	0,111111	0,1	
x2	0	0,5	0,333333	0,25	0,2	0,166667	0,142857	0,125	0,111111	0,1	
x3	0	0	0,333333	0,25	0,2	0,166667	0,142857	0,125	0,111111	0,1	
x4	0	0	0	0,25	0,2	0,166667	0,142857	0,125	0,111111	0,1	
x5	0	0	0	0	0,2	0,166667	0,142857	0,125	0,111111	0,1	
x6	0	0	0	0	0	0,166667	0,142857	0,125	0,111111	0,1	
x7	0	0	0	0	0	0	0,142857	0,125	0,111111	0,1	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,125	0,111111	0,1	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,111111	0,1	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,1	

44. Táblázat. Sh-k mátrix (h=1,2,…,10, k=-1,-2,…,-9) inverze

Látjuk, hogy az inverz mátrixsorai balról jobbra haladva az adott oszlopban lévő diagonális elem reciprok értékét veszi fel. Az inverz mátrix oszlopainak értéke végig azonos, megegyezik a diagonális elem reciprok értékével. 
Az inverz ábrája:

28. Ábra. Sh-k mátrix  (h=1,2,…,10, k=-1,-2,…,-9) inverzének ábrája
Fordítsuk meg most az elemek sorrendjét, s legyen mátrixunk olyan, hogy a diagonális elemek a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig 10-től 1-ig, a tőlük balra lévő elemek pedig -10-től -2-ig változnak.
Mátrixunk tehát:
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	10	-10	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	9	-9	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	8	-8	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	7	-7	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

45. Táblázat. Sh-k mátrix (h=10, 9,…,1, k=-9,-8,…,-2)
Ennek ábrája:

29. Ábra. Sh-k mátrix (h=10, 9,…,1, k=-9,-8,…,-2) ábrája
A mátrix inverze:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,1	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	1	
x2	0	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	1	
x3	0	0	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	1	
x4	0	0	0	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	1	
x5	0	0	0	0	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	1	
x6	0	0	0	0	0	0,2	0,25	0,333333	0,5	1	
x7	0	0	0	0	0	0	0,25	0,333333	0,5	1	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,333333	0,5	1	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	1	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

46. Táblázat. Sh-k mátrix inverze (h=10, 9,…,1, k=-9,-8,…,-2)

Most tulajdonképpen az előbbi inverzmátrix fordítottját kapjuk.
Az inverz ábrája:

30. Ábra. Sh-k mátrix (h=10, 9,…,1, k=-9,-8,…,-2) inverzének ábrája
Érdekes képet kapunk, ha a diagonális elemeket és a tőlük jobbra lévő elemeket véletlenszerűen választjuk meg. Egy ilyen mátrixot látunk a következőkben:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	5	-8	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	3	-9	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	7	-5	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	9	-7	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	4	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	3	-2	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	2	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	8	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6	

47. Táblázat. Sh-k mátrix (h és k véletlenszerű megválasztásával)

Ennek ábrája:

31. Ábra. Sh-k mátrix ábrája (h és k véletlenszerű megválasztásával)
A mátrix inverze:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,2	0,5333	0,6857	0,3809	0,6666	1,3333	1,3333	5,3333	2	0,3333	
x2	0	0,3333	0,4285	0,2380	0,4166	0,8333	0,8333	3,3333	1,25	0,2083	
x3	0	0	0,1428	0,0793	0,1388	0,2777	0,2777	1,1111	0,4166	0,0694	
x4	0	0	0	0,1111	0,1944	0,3888	0,3888	1,5555	0,5833	0,0972	
x5	0	0	0	0	0,25	0,5	0,5	2	0,75	0,125	
x6	0	0	0	0	0	0,3333	0,3333	1,3333	0,5	0,0833	
x7	0	0	0	0	0	0	0,5	2	0,75	0,125	
x8	0	0	0	0	0	0	0	1	0,375	0,0625	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,125	0,0208	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,1666	

48. Táblázat. Sh-k mátrix inverze (h és k véletlenszerű megválasztásával)

Célszerűnek tartom felhívni a figyelmet, hogy az inverz mátrixok elemei között nem találunk negatív előjelű elemet, bár a kiinduló mátrix elemei között (a diagonálistól eltérő elemek) negatív előjelű elemek voltak.
Az inverz ábrája:

32. Ábra. Sh-k mátrix inverzének ábrája (h és k véletlenszerű megválasztásával)

Az eddigiek során olyan mátrixokat vizsgáltunk, amelyekben a diagonális elemek pozitív, a tőlük jobbra (illetve felettük) lévő elemek negatív előjelűek voltak. Most fordítsuk meg a problémát, s tegyük fel, hogy a diagonális elemek továbbra is pozitív előjelűek, a tőlük balra, illetve alattuk lévő elemek negatív előjelűek, s természetesen a többi elemek most is zérus elemek.

Vegyünk először egy olyan mátrixot, amelynek diagonális elemei pozitív előjelű egységek, a diagonálistól balra, illetve alattuk lévő elemek negatív előjelű egységek, azaz S-1+1.

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	-1	1	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	-1	1	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	

49. Táblázat. S-1+1 mátrix

Ennek ábrája:

33. Ábra. S-1+1 mátrix ábrája
és inverze:

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
x2	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
x3	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	
x4	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	
x5	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	
x6	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	
x7	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	
x8	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	
x9	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	
x10	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	

50. Táblázat. S-1+1 mátrix inverze

34. Ábra. S-1+1 mátrix inverzének ábrája

Ha ezt összehasonlítjuk a 21. és a 22. táblázatokkal és az azokat szemléltető ábrákkal, akkor azt látjuk, hogy most a 21. és 22. táblák és a hozzátartozó ábrák tükörképét kaptuk. Amíg ott az inverzmátrix felső trianguláris, most alsó trianguláris mátrixot kaptunk.
Úgy vélem nem kell példákkal illusztrálnom, hogy a fentiek értelemszerűen alkalmazhatók az összes eddig tárgyalt mátrixra.
Ismert az is, hogy az A mátrix inverzének inverze, azaz (A-1)-1 maga az A mátrix, azaz (A-1)-1=A
Egyes esetekben egyébként érdekes nyomon követni az inverz meghatározásának lépéseit is.
Lássunk még egy érdekes esetet. Itt a bázis transzformáció egyes lépései során keletkezett táblázatokat is célszerűnek látom közölni.
Az első lépésben tehát vegyük a 45. táblázatban már megismert mátrixot és határozzuk meg ennek inverzét, közölve lépésről lépésre a bázis transzformáció során keletkezett táblázatokat, azaz

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	10	-10	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	9	-9	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	8	-8	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	7	-7	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
x1	0,1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	9	-9	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	8	-8	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	7	-7	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
x1	0,1	0,111111	-1	0	0	0	0	0	0	0	
x2	0	0,111111	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	8	-8	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	7	-7	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
x1	0,1	0,111111	0,125	-1	0	0	0	0	0	0	
x2	0	0,111111	0,125	-1	0	0	0	0	0	0	
x3	0	0	0,125	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	7	-7	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	e4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
x1	0,1	0,111111	0,125	0,142857	-1	0	0	0	0	0	
x2	0	0,111111	0,125	0,142857	-1	0	0	0	0	0	
x3	0	0	0,125	0,142857	-1	0	0	0	0	0	
x4	0	0	0	0,142857	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	e4	e5	x6	x7	x8	x9	x10	
x1	0,1	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	-1	0	0	0	0	
x2	0	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	-1	0	0	0	0	
x3	0	0	0,125	0,142857	0,166667	-1	0	0	0	0	
x4	0	0	0	0,142857	0,166667	-1	0	0	0	0	
x5	0	0	0	0	0,166667	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	x7	x8	x9	x10	
x1	0,1	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	-1	0	0	0	
x2	0	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	-1	0	0	0	
x3	0	0	0,125	0,142857	0,166667	0,2	-1	0	0	0	
x4	0	0	0	0,142857	0,166667	0,2	-1	0	0	0	
x5	0	0	0	0	0,166667	0,2	-1	0	0	0	
x6	0	0	0	0	0	0,2	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	x8	x9	x10	
x1	0,1	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	-1	0	0	
x2	0	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	-1	0	0	
x3	0	0	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	-1	0	0	
x4	0	0	0	0,142857	0,166667	0,2	0,25	-1	0	0	
x5	0	0	0	0	0,166667	0,2	0,25	-1	0	0	
x6	0	0	0	0	0	0,2	0,25	-1	0	0	
x7	0	0	0	0	0	0	0,25	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	x9	x10	
x1	0,1	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	-1	0	
x2	0	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	-1	0	
x3	0	0	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	-1	0	
x4	0	0	0	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	-1	0	
x5	0	0	0	0	0,166667	0,2	0,25	0,333333	-1	0	
x6	0	0	0	0	0	0,2	0,25	0,333333	-1	0	
x7	0	0	0	0	0	0	0,25	0,333333	-1	0	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,333333	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	x10	
x1	0,1	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	-1	
x2	0	0,111111	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	-1	
x3	0	0	0,125	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	-1	
x4	0	0	0	0,142857	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	-1	
x5	0	0	0	0	0,166667	0,2	0,25	0,333333	0,5	-1	
x6	0	0	0	0	0	0,2	0,25	0,333333	0,5	-1	
x7	0	0	0	0	0	0	0,25	0,333333	0,5	-1	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,333333	0,5	-1	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	
x1	0,1	0,1111	0,125	0,1429	0,1667	0,2	0,25	0,3333	0,5	1	
x2	0	0,1111	0,125	0,1429	0,1667	0,2	0,25	0,3333	0,5	1	
x3	0	0	0,125	0,1429	0,1667	0,2	0,25	0,3333	0,5	1	
x4	0	0	0	0,1429	0,1667	0,2	0,25	0,3333	0,5	1	
x5	0	0	0	0	0,1667	0,2	0,25	0,3333	0,5	1	
x6	0	0	0	0	0	0,2	0,25	0,3333	0,5	1	
x7	0	0	0	0	0	0	0,25	0,3333	0,5	1	
x8	0	0	0	0	0	0	0	0,3333	0,5	1	
x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	1	
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

51. Táblázat. Sh-k mátrix (h=10, 9,…,1, k=-9,-8,…,-2) és invertálása

Mint már előbb is láttuk most tehát egy felső trianguláris mátrixot kaptunk, amelynek oszlopai azonosak, s az inverz mátrix sorai balról jobbra haladva az adott oszlopban lévő diagonális elem reciprok értékét veszik fel. Az inverz mátrix oszlopainak értéke végig azonos, megegyezik a diagonális elem reciprok értékével.
Most tekintsük újra a kiinduló mátrixot:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	10	-10	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	9	-9	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	8	-8	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	7	-7	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	
52. Táblázat. Kiinduló Sh-k mátrix (h=10, 9,…,1, k=-9,-8,…,-2)
 Most képezzünk ebből egy olyan mátrixot, amelyben a mátrix elemei a kiinduló mátrix elemeit eggyel csökkentik, azaz Sh-k – Sh-1-k-1
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	9	-9	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	8	-8	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	7	-7	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	6	-6	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	5	-5	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	4	-4	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	3	-3	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	2	-2	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
53. Táblázat. Sh-k – Sh-1-k-1 mátrix

Most vonjuk ki a kiinduló mátrixból az előbbi mátrixot, s az eredmény, (amelyet nevezzünk redukált1 mátrixnak és szimbolizáljuk R1-el, illetve a továbbiakban Rj-vel /j=1,2,…n/) a következő lesz:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	
54. Táblázat. R1 mátrix
Most ismételjük meg az előbbi folyamatot az előbbi Sh-k – Sh-1-k-1 mátrixszal, és ezt folytassuk lépésről-lépésre mindaddig, amíg zérus-mátrixhoz nem jutunk. Nevezzük az így nyert mátrixokat továbbra is redukált mátrixoknak, indexben jelezve, hogy hányadik lépést hajtottuk végre, azaz hányadik redukált mátrixnál tartunk:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
55. Táblázat. R2 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
56. Táblázat. R3 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

57. Táblázat. R4 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

58. Táblázat. R5 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

59. Táblázat. R6 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
  
60. Táblázat. R7 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

61. Táblázat. R8 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

62. Táblázat. R9 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

63. Táblázat. R10 mátrix

A következő táblázat a zérus-mátrix lenne, tehát a számolást befejezettnek tekinthetjük.

Ha most a redukált mátrixokat összeadjuk, eredményül természetesen a kiinduló mátrixot kapjuk.

Képezzük most az Rj mátrixok inverzét. Az előbbiekből már tudjuk, hogy az ilyen A1-1 jellegű mátrixok inverzét nem kell számítással meghatározni, hanem azt egyszerűen fel tudjuk írni, hiszen ezek inverze olyan felső trianguláris mátrix, amelynek elemei egységek, azaz

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
e2	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
e3	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	
e4	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	
e5	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	
e6	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	
e7	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

64. Táblázat. (R1)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	
e2	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	
e3	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	
e4	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	
e5	0	0	0	0	1	1	1	1	1	0	
e6	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

65. Táblázat. (R2)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	
e2	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	
e3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	
e4	0	0	0	1	1	1	1	1	0	0	
e5	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

66. Táblázat. (R3)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	
e2	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	
e3	0	0	1	1	1	1	1	0	0	0	
e4	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

67. Táblázat. (R4)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	
e2	0	1	1	1	1	1	0	0	0	0	
e3	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

68. Táblázat. (R5)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	
e2	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

69. Táblázat. (R6)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

70. Táblázat. (R7)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

71. Táblázat. (R8)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

72. Táblázat. (R9)-1 mátrix

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	
e1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	

73. Táblázat. (R10)-1 mátrix

Ha most az inverz mátrixokat összeadjuk a következő mátrixhoz jutunk.

e1	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	
e2	0	9	8	7	6	5	4	3	2	1	
e3	0	0	8	7	6	5	4	3	2	1	
e4	0	0	0	7	6	5	4	3	2	1	
e5	0	0	0	0	6	5	4	3	2	1	
e6	0	0	0	0	0	5	4	3	2	1	
e7	0	0	0	0	0	0	4	3	2	1	
e8	0	0	0	0	0	0	0	3	2	1	
e9	0	0	0	0	0	0	0	0	2	1	
e10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	

74. Táblázat. Az inverz mátrixok összegzése

Olyan mátrixot kaptunk tehát, amelynek elemei az oszlopokban azonosak, megegyeznek a kiinduló mátrix diagonális elemeivel.
Érdekes, hogy ezeknek az elemeknek a reciprok értéke a kiinduló mátrix inverze elemeivel egyezik meg. Vajon miért?

3. Egyszerűsített gyakorlati alkalmazási példa

A továbbiakban egyszerűsített lineáris programozási, gyakorlati példát mutatok be, ezen keresztül szemléltetve a fentiekben kifejtetteket. Az egyszerűsítésre az kényszerít, hogy a gyakorlatban előforduló lineáris programozási modellek bemutatására, azok nagy mérete miatt e könyvben nincs lehetőség.
Legyen tehát feladatunk a következő:

	Term	Műv1	Műv2	Műv3	Műv4	Műv5	Műv6	Esz1	Esz2	b	
M1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
M2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
M3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
M4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
M5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
M6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	0,3	0	0,5	0	0,1	0	-8	0	0	
E2	0	0	0,4	0	0,2	0	0,4	0	-9	0	
Ter	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1000	
Cf	5000	-4	-5	-3	-4	-2	-1	-25	-30	0	

75. Táblázat. Egyszerűsített lineáris programozási modell

A modell a következőket fejezi ki:

Egy terméket termelünk (Term), amelynek előállításához 6-féle műveletet kell elvégezni (Műv1, Műv2, … , Műv6). A műveletek elvégzéséhez kétféle eszközt használunk (Esz1, Esz2)
Az adott munkadarabon (a teljes munkadarabon), minden műveletet el kell végezni, tehát a munkadarab és a műveletek méretűket (mennyiségűket) tekintve megegyeznek.
Az első eszközt (Esz1) az első műveletnél 0,3 a harmadiknál 0,5 az ötödiknél 0,1 óráig használjuk, hogy a szükséges munkafolyamatot, megmunkálást elvégezzük.
A második eszközt (Esz2) a második munkaműveletnél 0,4 a negyedik műveletnél 0,2 a hatodik műveletnél 0,4 óráig használjuk, hogy a szükséges munkafolyamatot, megmunkálást elvégezzük.
Az első gép napi 8 óra kapacitással, a második napi 9 óra kapacitással dolgozhat, a napi gépköltség (pl. gépbérlet, vagy amortizáció) az első gépnél 25, a másodiknál 30 pénzegység. 
Ismerjük még a műveleteknél felmerülő egyéb költségeket, pl. üzemanyag, kenőanyag, munkabér, stb.) Ezt találjuk a műveleteknél az utolsó sorban.
Természetesen a költségek negatív előjellel szerepelnek.
Ismerjük még, hogy a terméket darabonként 5000 Ft-ért tudjuk értékesíteni, azonban ezekből legfeljebb 1000 darab adható el.
A relációkat helykímélés miatt nem jelöltem, nem képeztem e célból külön oszlopot, vegyük úgy, hogy a relációk kisebb-egyenlő, vagy egyenlő (esetünkben mindegy) formában vannak megadva.
A modell egyes részeit szándékosan színeztem ki, annak megfelelően, ahogyan az 1. fejezetben a modellt a 6. Táblázatban blokkokra bontottam és a 7. kijelöltem az elvégzendő műveleteket, tehát

	u*	x’’*	y*			
x’	A’-1	A’-1A’’	0	=	0	
u2	-B’A’-1	B’’-B’ A’-1 A’’	F	≤	0	
u3	-D’A’-1	D’’-D’ A’-1 A’’	G	≤
>	B	
	-p’*A’-1	p’’*-p’*A’-1 A’’	C*		0	

7. Táblázat. A bázis-transzformáció után kapott eredmény

Kényelmi okokból a műveletek elvégzését két mátrix szorzataként fogom végezni, tehát a vektorral való szorzásokat, sőt s skalárral való szorzást is mátrixként fogom fel.
Az első lépésben vegyük a piros színnel jelölt 6 sorból és 6 oszlopból álló A’ mátrixot és határozzuk meg annak inverzét, azaz A’-1 inverz mátrixot. Mint tudjuk, ennek inverze olyan felső trianguláris mátrix, amelynek diagonális elemei és a diagonális feletti elemek egységek, a diagonális alatti elemek nullák, ezért ennek az inverzét minden számítás nélkül felírhatjuk, azaz:

1	1	1	1	1	1	
0	1	1	1	1	1	
0	0	1	1	1	1	
0	0	0	1	1	1	
0	0	0	0	1	1	
0	0	0	0	0	1	

76. Táblázat. Az A’ mátrix inverze

A következő lépésben határozzuk meg a -B’A’-1 mátrixszorzatot, azaz:

B
0	-0,3	0	-0,5	0	-0,1	
0	0	-0,4	0	-0,2	0	
-1	0	0	0	0	0	
  0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	

x

A-1
1	1	1	1	1	1	
0	1	1	1	1	1	
0	0	1	1	1	1	
0	0	0	1	1	1	
0	0	0	0	1	1	
0	0	0	0	0	1	
 
=

-B’A’-1
0	-0,3	-0,3	-0,8	-0,8	-0,9	
0	0	-0,4	-0,4	-0,6	-0,6	
-1	-1	-1	-1	-1	-1	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	

Az u3 sorban lévő  -D’A’-1 és  D’’-D’ A’-1 A’’ értékek meghatározásával nem kell foglalkoznunk, mivel egyszerűsített modellünkben azok nem szerepelnek.
Határozzuk meg most a A’ mátrixhoz tartozó célfüggvény együtthatók értékét, azaz -p’*A’-1 értékeit. Mátrixszorzatként ezt a következőképpen írhatjuk fel:

-p’
5000	-4	-5	-3	-4	-2	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	

x
-p’
1	1	1	1	1	1	
0	1	1	1	1	1	
0	0	1	1	1	1	
0	0	0	1	1	1	
0	0	0	0	1	1	
0	0	0	0	0	1	

=

-p’*A’-1
5000	4996	4991	4988	4984	4982	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	

Határozzuk meg most a A’-1A’’ értékét

A’-1
1	1	1	1	1	1	
0	1	1	1	1	1	
0	0	1	1	1	1	
0	0	0	1	1	1	
0	0	0	0	1	1	
0	0	0	0	0	1	

x 

A’’
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
-1	0	0	0	0	0	

=

A’-1A’’
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
-1	-1	-1	-1	-1	-1	

A következő feladat a B’’-B’ A’-1 A’’ meghatározása

B’’
0	0	0	0	0	0	
0,4	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	

A  -B’ A’-1 már az előbbiekből ismert, azaz

0	-0,3	-0,3	-0,8	-0,8	-0,9	
0	0	-0,4	-0,4	-0,6	-0,6	
-1	-1	-1	-1	-1	-1	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	

Ugyancsak ismert a A’’

0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	0	
-1	0	0	0	0	0	

A műveletek elvégzésének eredménye

B’’-B’ A’-1 A’’

0,9	
1	
1	

Végül még a  p’’*-p’*A’-1 A’’ kiszámítása maradt. Tekintve, hogy már a számítások nagy részét elvégeztük, ez nem jelent problémát, így ismertetésétől eltekinthetünk.
Ha most az így kiszámított mátrixokat a modellbe behelyettesítjük a következőket kapjuk:

	M1	M2	M3	M4	M5	M6	Műv6	Esz1	Esz2	b	
Term	1	1	1	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv1	0	1	1	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv2	0	0	1	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv3	0	0	0	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv4	0	0	0	0	1	1	-1	0	0	0	
Műv5	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	-0,3	-0,3	-0,8	-0,8	-0,9	0,9	-8	0	0	
E2	0	0	-0,4	-0,4	-0,6	-0,6	1	0	-9	0	
Ter	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	0	0	1000	
Cf	-5000	-4996	-4991	-4988	-4984	-4982	4981	-25	-30	0	

Most tehát egy olyan közbenső bázismegoldáshoz jutottunk, amely képletesen szólva, azaz vulgárisan fogalmazva azt mutatja, hogy amennyiben az adott termékből 1000 egységet kívánnánk előállítani, de még nem végeznénk el műveletet és nem használnánk fel eszközt, akkor a jövedelmünk nulla pénzegység lenne, s felmerülne egy sor elvégzendő művelet és eszközigény, ami jelenleg, mint várható költség jelentkezik. Látjuk azonban, hogy van olyan modellváltozó, a Műv6, amelynek célfüggvény értéke pozitív, tehát a bázis-transzformáció folytatható, a Műv6 bevonható a bázisba. (Megjegyezném, hogy – mint tudjuk – a piros színnel jelölt adatok – mint ismerjük – minden számolás nélkül felírhatók voltak.)
A továbbiakban tehát folytathatnánk a bázis-transzformációt. E helyett azonban végezzük el a modell megoldását az elemi bázis-transzformáció alkalmazásával. Most a teljes táblázatsorozatot közreadom, s látni fogjuk, hogy a fenti táblázat – mint természetes – itt is szerepelni fog, s ott folytatjuk tovább a számolást.
Nézzük tehát a modell megoldását elemi bázis-transzformációval, lépésről lépésre: (A generáló elemeket piros színnel jelöltem.)

	Term	Műv1	Műv2	Műv3	Műv4	Műv5	Műv6	Esz1	Esz2	b	
M1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
M2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
M3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
M4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
M5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
M6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	0,3	0	0,5	0	0,1	0	-8	0	0	
E2	0	0	0,4	0	0,2	0	0,4	0	-9	0	
Ter	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1000	
Cf	5000	-4	-5	-3	-4	-2	-1	-25	-30	0	

	M1	Műv1	Műv2	Műv3	Műv4	Műv5	Műv6	Esz1	Esz2	b	
Term	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	
M2	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
M3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
M4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
M5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
M6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	0,3	0	0,5	0	0,1	0	-8	0	0	
E2	0	0	0,4	0	0,2	0	0,4	0	-9	0	
Ter	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	1000	
Cf	-5000	4996	-5	-3	-4	-2	-1	-25	-30	0	

	M1	M2	Műv2	Műv3	Műv4	Műv5	Műv6	Esz1	Esz2	b	
Term	1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
Műv1	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	
M3	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
M4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
M5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
M6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	-0,3	0,3	0,5	0	0,1	0	-8	0	0	
E2	0	0	0,4	0	0,2	0	0,4	0	-9	0	
Ter	-1	-1	1	0	0	0	0	0	0	1000	
Cf	-5000	-4996	4991	-3	-4	-2	-1	-25	-30	0	

	M1	M2	M3	Műv3	Műv4	Műv5	Műv6	Esz1	Esz2	b	
Term	1	1	1	-1	0	0	0	0	0	0	
Műv1	0	1	1	-1	0	0	0	0	0	0	
Műv2	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	
M4	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
M5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
M6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	-0,3	-0,3	0,8	0	0,1	0	-8	0	0	
E2	0	0	-0,4	0,4	0,2	0	0,4	0	-9	0	
Ter	-1	-1	-1	1	0	0	0	0	0	1000	
Cf	-5000	-4996	-4991	4988	-4	-2	-1	-25	-30	0	

	M1	M2	M3	M4	Műv4	Műv5	Műv6	Esz1	Esz2	b	
Term	1	1	1	1	-1	0	0	0	0	0	
Műv1	0	1	1	1	-1	0	0	0	0	0	
Műv2	0	0	1	1	-1	0	0	0	0	0	
Műv3	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	
M5	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
M6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	-0,3	-0,3	-0,8	0,8	0,1	0	-8	0	0	
E2	0	0	-0,4	-0,4	0,6	0	0,4	0	-9	0	
Ter	-1	-1	-1	-1	1	0	0	0	0	1000	
Cf	-5000	-4996	-4991	-4988	4984	-2	-1	-25	-30	0	

	M1	M2	M3	M4	M5	Műv5	Műv6	Esz1	Esz2	b	
Term	1	1	1	1	1	-1	0	0	0	0	
Műv1	0	1	1	1	1	-1	0	0	0	0	
Műv2	0	0	1	1	1	-1	0	0	0	0	
Műv3	0	0	0	1	1	-1	0	0	0	0	
Műv4	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	
M6	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	-0,3	-0,3	-0,8	-0,8	0,9	0	-8	0	0	
E2	0	0	-0,4	-0,4	-0,6	0,6	0,4	0	-9	0	
Ter	-1	-1	-1	-1	-1	1	0	0	0	1000	
Cf	-5000	-4996	-4991	-4988	-4984	4982	-1	-25	-30	0	

	M1	M2	M3	M4	M5	M6	Műv6	Esz1	Esz2	b	
Term	1	1	1	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv1	0	1	1	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv2	0	0	1	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv3	0	0	0	1	1	1	-1	0	0	0	
Műv4	0	0	0	0	1	1	-1	0	0	0	
Műv5	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	
E1	0	-0,3	-0,3	-0,8	-0,8	-0,9	0,9	-8	0	0	
E2	0	0	-0,4	-0,4	-0,6	-0,6	1	0	-9	0	
Ter	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	0	0	1000	
Cf	-5000	-4996	-4991	-4988	-4984	-4982	4981	-25	-30	0	

	M1	M2	M3	M4	M5	M6	E1	Esz1	Esz2	b	
Term	1,0	0,7	0,7	0,1	0,1	0,0	1,1	-8,9	0,0	0	
Műv1	0,0	0,7	0,7	0,1	0,1	0,0	1,1	-8,9	0,0	0	
Műv2	0,0	-0,3	0,7	0,1	0,1	0,0	1,1	-8,9	0,0	0	
Műv3	0,0	-0,3	-0,3	0,1	0,1	0,0	1,1	-8,9	0,0	0	
Műv4	0,0	-0,3	-0,3	-0,9	0,1	0,0	1,1	-8,9	0,0	0	
Műv5	0,0	-0,3	-0,3	-0,9	-0,9	0,0	1,1	-8,9	0,0	0	
Műv6	0,0	-0,3	-0,3	-0,9	-0,9	-1,0	1,1	-8,9	0,0	0	
E2	0,0	0,3	-0,1	0,5	0,3	0,4	-1,1	8,9	-9,0	0	
Ter	-1,0	-0,7	-0,7	-0,1	-0,1	0,0	-1,1	8,9	0,0	1000	
Cf	-5000,0	-3335,7	-3330,7	-560,4	-556,4	-1,0	-5534,4	44250,6	-30,0	0	

	M1	M2	M3	M4	M5	M6	E1	Esz1	Esz2	b	
Term	1	1	0,6	0,6	0,4	0,4	0	1	-9	0	
Műv1	0	1	0,6	0,6	0,4	0,4	0	1	-9	0	
Műv2	0	0	0,6	0,6	0,4	0,4	0	1	-9	0	
Műv3	0	0	-0,4	0,6	0,4	0,4	0	1	-9	0	
Műv4	0	0	-0,4	-0,4	0,4	0,4	0	1	-9	0	
Műv5	0	0	-0,4	-0,4	-0,6	0,4	0	1	-9	0	
Műv6	0	0	-0,4	-0,4	-0,6	-0,6	0	1	-9	0	
E2	0,0	0,0	0,0	0,1	0,0	0,0	-0,1	0,1	-1,0	0	
Ter	-1	-1	-0,6	-0,6	-0,4	-0,4	0	-1	9	1000	
Cf	-5000,0	-4995,1	-2998,8	-2994,2	-1994,6	-1992,3	-3,1	-4978,2	44773,7	0	

	M1	M2	M3	M4	M5	M6	E1	E2	Ter	b	
Term	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1000	
Műv1	-1	0	0	0	0	0	0	0	1	1000	
Műv2	-1	-1	0	0	0	0	0	0	1	1000	
Műv3	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	1	1000	
Műv4	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	1	1000	
Műv5	-1	-1	-1	-1	-1	0	0	0	1	1000	
Műv6	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	0	1	1000	
E1	-0,1	-0,1	-0,1	0,0	0,0	0,0	-0,1	0,0	0,1	112,5	
E2	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	0,0	0,0	0,0	-0,1	0,1	111,1	
Cf	-25,1	-20,2	-13,9	-9,3	-4,6	-2,3	-3,1	-3,3	-4974,9	-4974854	
    
Láthatjuk, hogy a hetedik táblázatnál jutottunk el az előbbi bázismegoldáshoz, s innen folytatva a bázis-transzformációt, a tizedik táblázat adta az optimális megoldást.
Az optimális megoldás szerint 1000 egységnyi terméket állítunk elő, minden műveletből elvégezzük (megmunkáljuk) az 1000 egységet, az első eszközből 112,5 órát, a másodikból 111,1 órát fordítunk a termék előállítására, s összesen 4 974 854 Ft jövedelmet érünk el. A táblázat utolsó sora tartalmazza a duális megoldást, vagy árnyékárakat, megmutatva, hogy további egységnyi termelés, illetve egységnyi műveletek, vagy eszközfelhasználás esetén mennyivel lehetne növelni a jövedelmet.

***

Az eddigiek során csak néhány lehetőséget villantottam fel a mátrixok inverzével kapcsolatban.
Láttuk, hogy speciális mátrixok inverze minden számítás nélkül felírható, s ez független a mátrix méretétől. Az vizsgált 10x10-es mátrixok eredménye tehát kiterjeszthető tetszőleges méretű mátrixokra, illetve adott mátrixból olyan méretet használhatunk fel, amilyenre szükségünk van.
Láttuk azt is, hogy az elemek értékeinek változtatásával mátrix sorozatokat képezhetünk, s ezek inverzét is felírhatjuk, minden számítás nélkül.
Megállapítottunk ennek során néhány tételt is, s további tételek megállapítását az olvasókra bízom.
Megismerhettük azt is, hogy speciális mátrixok, többek között a bemutatott mátrixok közül egyik-másik a gyakorlati feladatok vizsgálatánál is szóba jöhet. Erre a 3. pontban egyszerűsített gyakorlati példát is láttunk.
Az, hogy a vizsgált, valamint általunk képezhető végtelen sok lehetőség közül bármely mátrixnak és inverzének lehet-e gyakorlati haszna, az további vizsgálatok tárgya lehet. Véleményem szerint e tekintetben igen sok lehetőség van arra, hogy fiatal szakemberek új eredményekhez jussanak.
Kérdés, hogy milyen módon lehet, vagy lehet-e általában mátrixokat, s milyen mátrixokat, olyan speciális mátrixokká alakítani, amelyek inverze számolás nélkül felírható?
A speciális mátrixoknak és inverzüknek a vizsgálata lehet érdekes és lehet hasznos is. Az is lehet, hogy csak érdekes, hasznosság nélkül, vagy nem érdekes ugyan, de hasznos. Hogy melyik vizsgálatra milyen megállapítást tehetünk, ahhoz el kellene végezni ezeket a vizsgálatokat, illetve azokat, amelyek az olvasóban a végtelen sok lehetőség közül felvetődnek. Azt hiszem ezek a vizsgálatok a tudományok iránt érdeklődő fiatalokra várnak.
Nosza rajta!
Akit érdekel, a végtelen sok lehetőség, vizsgálódjon tovább!
Én most csak ennyire jutottam.