# 4.3. A predikátumlogika elemei # 4.3.1. Az arisztotelészi logika korlátai Arisztotelész merész sejtést fogalmazott meg logikájával kapcsolatban: e szerint minden helyes következtetés visszavezethető az általa kimerítően tárgyalt kategorikus szillogizmusokra. Néhány esetben a visszavezetés nem is okoz különösebb problémát. Tekintsük például a következő hárompremisszás következtetést: 1. Minden ember jó. Minden görög ember. Minden athéni görög. Tehát: Minden athéni jó. Ez a következtetés gond nélkül szétbontható két Barbara szillogizmussá (lásd: 4.1.4.); csupán a minden görög jó (vagy a minden athéni ember) közbülső konklúziót kell közbeiktatnunk. Az tehát önmagában még nem baj, ha egy következtetésben kettőnél több premissza van. Nehezebb, de még mindig nem minden esetben reménytelen vállalkozás összetett állításokat tartalmazó következtetéseket visszavezetni kategorikusakra. Talán a legegyszerűbb eset az, amikor a premisszák vagy a konklúzió olyan állításokra bontható fel, amelyek mindegyike a négy arisztotelészi típus valamelyikéből kerül ki: 2. Minden ember jó. Minden filozófus ember. Minden politikus ember. Tehát: Minden filozófus és minden politikus jó. Ezt a következtetést megint csak gond nélkül szétbonthatjuk két Barbara szillogizmussá, amelyek egyike a filozófusok, másika a politikusok jóságára következtet. De akkor sem mindig reménytelen a helyzet, ha az állításlogikai szerkezetek elemei nem a négy arisztotelészi típusból valók. Tekintsük az alábbi példát: 3. Ha jogállam van, akkor szabad választások vannak. Ha szabad választások vannak, akkor a kormány a népnek felelős. Tehát: Ha jogállam van, akkor a kormány a népnek felelős. Ha a három feltételes állítást a 4.2.1. fejezetben megadott módon értelmezzük, akkor nincs esélyünk arra, hogy a következtetést kategorikus szillogizmussá alakítsuk. Megfigyelhetjük azonban, hogy mind a premisszák, mind a konklúzió általános törvényszerűséget fogalmaz meg. A következtetést tehát - lemondva a tömörségről - a következőképpen fogalmazhatjuk át: 3a. Minden olyan helyzetre, amelyre jellemző, hogy jogállam van, jellemző az is, hogy szabad választások is vannak. Minden olyan helyzetre, amelyre jellemző, hogy szabad választások vannak, jellemző az is, hogy a kormány a népnek felelős. Tehát: Minden olyan helyzetre, amelyre jellemző, hogy jogállam van, jellemző az is, hogy a kormány a népnek felelős. Ebben a következtetésben pedig ismét egy Barbara szillogizmust ismerhetünk fel; a megszokott példákhoz képest csak annyi a különbség, hogy nem egyedi dolgok, hanem "helyzetek" felett általánosítunk, a kategorikus állításokat pedig e helyzetek tulajdonságaira vonatkozó terminusokként értjük. A visszavezetést tehát egyszerű átfogalmazással megoldottuk. Nehezebb lenne a dolgunk, ha a premisszákban vagy a konklúzióban vagy kapcsolná össze a tagokat a viszonylag könnyen kezelhető és és ha-akkor helyett; de az állításlogikán kívül is hamar találunk problematikus eseteket. Az arisztotelészi szillogizmusokban szereplő terminusok kivétel nélkül tulajdonságot fejeznek ki. A köznapi és a tudományos érvelésekben azonban lépten-nyomon viszonyt kifejező terminusokra bukkanunk. Tekintsük például az első axiómát Euklidész Elemek című értekezéséből (amely a geometria első rendszeres kifejtését tartalmazza, és amely az egzakt érvelés mintapéldájává vált mind a szaktudományok, mind a filozófia számára): 4. Ami ugyanazzal egyenlő, az egymással is egyenlő. Világos, hogy ugyanazzal egyenlőnek lenni vagy egymással egyenlőnek lenni nem tulajdonság, hanem viszony. A minden ember jó mondat, nyelvtani szerkezete szerint, megegyezik ugyan a minden ember egyenlő mondattal; különbségüket jelzi azonban, hogy az utóbbi ugyanazt az állítást fejezi ki, mint a minden ember egyenlő minden másikkal mondat, addig a minden ember jó minden másikkal azonban nem ugyanazt fejezi ki, mint a minden ember jó. A hagyományos, Arisztotelész nyomdokán járó logika egyik fő gyengesége volt, hogy alapvető tudományos állításokat és következtetéseket nem tudott kezelni. Hogy ne csak elszigetelt állításokat vizsgáljunk, tekintsük az alábbi következtetést: 5. Minden ember egyenlő. Minden filozófus ember. Tehát: minden filozófus egyenlő. A következtetés helyes, és a felületes szemlélő számára csak újabb példa az 4.1. fejezetből jól ismert Barbara szillogizmusra. A helyzet mégsem ilyen egyszerű. Ez már abból is kitűnik, hogy a Barbara helyessége melletti szokásos indirekt érvelés nem alkalmazható rá. ("Tegyük fel, hogy a konklúzió hamis; ezek szerint van legalább egy olyan filozófus, aki nem egyenlő…") A különbségek még egyértelműbbé válnak az alábbi, alig valamivel összetettebb következtetésben: 6. Minden ember egyenlő. Minden filozófus ember. Minden politikus ember. Tehát: minden filozófus és politikus egyenlő. Ez a következtetés is nyilvánvalóan helyes, és feltűnő hasonlóságot mutat (2)-vel, amely két Barbara szillogizmus összevonásának bizonyult. Itt azonban a konklúzió nem elemezhető két kategorikus állítás konjunkciójaként. A minden filozófus egyenlő és minden politikus egyenlő mondat azt állítja, hogy a filozófusok is és a politikusok is külön-külön egyenlők; a minden filozófus és politikus egyenlő pedig azt, hogy a filozófusok egyenlők a politikusokkal. Még egy példa a tulajdonságot és a viszonyt kifejező terminusok megtévesztő hasonlóságára. Orwell Állatfarmjában az állatok alkotmánya a következő mondattal kezdődik: 7. Minden állat egyenlő. A disznók az éj leple alatt ezt a következőképpen egészítik ki: 7a. Minden állat egyenlő - de egyes állatok egyenlőbbek a többinél. Mivel egy viszony senkinek sem lehet a kiváltsága, a folytatás nyilván csak úgy volna értelmes, ha az egyenlő tulajdonságot fejezne ki. A disznók csúsztatására a megtévesztő nyelvtani szerkezet ad alkalmat. Így tehát azok a kategorikus állítások, amelyeknek az állítmánya viszonyt fejez ki, megegyező nyelvtani szerkezetük ellenére egészen másként viselkednek következtetésekben, mint azok, amelyek állítmánya tulajdonságot fejez ki. Az előbbi típusú állításokban ugyanis egyetlen kvantorszó kétszeres általánosítást fejez ki: a minden ember egyenlő ugyanazt mondja, mint a minden ember egyenlő minden másikkal. Euklidész (5)-ben idézett első axiómáját pedig így is átfogalmazhatjuk: 4a. Bármi legyen is az egyik dolog, és bármi legyen is a másik dolog, érvényes lesz rájuk, hogy ha az egyik és a másik ugyanazzal egyenlő, akkor az egyik és a másik egymással is egyenlő. A magyar nyelv nyelvtani szabályainak tömörítő erejét mutatja, hogy (4) képes ugyanazt kifejezni, mint (4a). A tömörítés viszont, mint láttuk, a különbségek összemosásával jár. Azokban az esetekben, amikor egy állítás egyszerre mutatkozik egyetemesnek és részlegesnek, még nyilvánvalóbb, hogy kétszeres általánosításról van szó: 8. Minden rosszban van valami jó. Ez a mondat a rossz szempontjából egyetemes, a jó szempontjából viszont részleges. A két fogalmat a benne van viszonyterminus kapcsolja össze. A tömör szerkezetet ismét átláthatóbbá tehetjük a (4a)-hoz hasonló átfogalmazással: 8a. Minden dologra igaz, hogy ha ez a dolog rossz, akkor van legalább egy olyan dolog, amely jó, és amely része az előbbinek. Ez az igencsak bonyolultra sikeredett változat jól mutatja a tömörség és az átláthatóság konfliktusát a nyelvtani szerkezetekben. A frappáns megfogalmazások félrevezetőek, a részletezők alig követhetőek. Valójában sem (8), sem (8a) nem tűnik ideális megfogalmazásnak. Mind (4a), mind (8a) követhetetlenségét elsősorban a visszautalások nehézkessége okozza. Amennyiben sikerülne olyan jelölésmódot találni, amelyben a visszautalások körülményes megfogalmazások nélkül is egyértelműek, úgy ez egyesítené (4) és (4a), (8) és (8a) előnyeit. A nyelvben a visszautaló kifejezések rendszerint névmások, vagy legalábbis névmási funkciójú kifejezések. A személyes és mutató névmások készlete azonban meglehetősen szűk; kézenfekvő tehát, hogy mesterséges névmások bevezetésével oldjuk meg ezt a feladatot. A matematikában az ilyen mesterséges névmásokat változónak nevezik. Az elnevezés itt is magától kínálkozik, és a matematikai jelölésmód mintájára a változókat itt is x, y, z stb. fogja jelölni. Az egyetemességet vagy részlegességet jelölő kifejezéseket továbbra is kvantornak vagy mennyiségjelölőnek nevezzük; minden kvantorhoz hozzá kell kapcsolnunk egy mesterséges névmást, amelynek előfordulásai erre a kvantorszóra utalnak vissza. Az egyetemesen általánosító minden kvantort univerzális kvantornak, a részlegesen általánosító némely kvantort egzisztenciálisnak nevezzük. A továbbiakban a logikai szerkezetet alkotó kifejezéseket a 4.2. fejezethez hasonlóan aláhúzással különböztetjük meg a többitől. Az elmondottak alapján (4) és (8) a következőképpen fogalmazható újra: 4b. Minden x-re, minden y-ra: ha x és y ugyanazzal egyenlő, akkor x egyenlő y-nal. 8b. Minden x-re: ha x rossz, akkor némely y-ra: y jó és y része x-nek. Euklidész axiómáját még pontosabban megfogalmazhatjuk, ha az ugyanazzal egyenlő kifejezésben felismerünk egy harmadik, ezúttal részleges általánosítást: 4c. Minden x-re, minden y-ra: ha némely z-re: x egyenlő z-vel és y egyenlő z-vel, akkor x egyenlő y-nal. A kettőspontok annak a szövegrésznek a kezdetét jelölik, amelyben a bevezetett változók visszautalnak a megfelelő mennyiségjelölőre. A példákból úgy tűnhet, hogy ezeket a szövegrészeket elég balról határolni. Több praktikus okunk is van azonban arra, hogy jobbról is határoljuk ezeket. Szabadjon most csak a leginkább evidenset említeni: így lehetőségünk lesz egyazon változót többször felhasználni anélkül, hogy ez kétértelműséghez vezetne. Kézenfekvő megoldás, hogy a szövegrészt, amelyben a visszautalást megengedjük, zárójelekkel határoljuk. Ahogy az 4.2.3. fejezetben láttuk, zárójelekkel egyértelműsíthetjük az állításlogikai szerkezetet is. Követhetőbbé teszi a szerkezetet az is, ha eltekintünk a változók nehézkes toldalékolásától. Ha több kvantor fordul elő egymás után, amelyeknek megegyezik a hatóköre, akkor természetesen elég egy közös zárójelpárt használni. 4d. Minden x (minden y (ha némely z (x egyenlő z és y egyenlő z) akkor x egyenlő y)) 8d. Minden x (ha x rossz, akkor némely y (y jó és y része x)) Ezzel megismertük az általános állítások modern predikátumlogikai elemzésének alapvonalait. Vegyük észre, hogy elemzéseink eredménye radikálisabban tér el a természetes nyelvi változattól, mint az arisztotelészi szillogisztikában vagy az állításlogikában. Helyenként teljesen eltértünk a mondatok nyelvtani szerkezetétől. Ezzel súlyos vádat emeltünk a nyelv ellen: azt állítjuk, hogy mondataink nyelvtani szerkezete nem tükrözi, hanem éppenséggel elrejti állításaink logikai formáját. A logikai szerkezetek ábrázolásához így a természetes nyelvtől eltérő eszközrendszerre lesz szükség. Ezt vázoljuk a következő fejezetben.