"Egyetlen informális, a technikai részleteket mellőző mondatban kifejezve, Gödel 1931-ben felfedezett tétele a következőt bizonyítja be: Ha egy matematikai rendszerben minden igazság, amely a rendszer eszközeivel egyáltalán kimondható (megfogalmazható), valamilyen módon a rendszeren belül be is bizonyítható, akkor ez a rendszer szükségszerűen ellentmondásos.

Más szavakkal: ha egy formális rendszer ellentmondásmentes, akkor megfogalmazható benne olyan állítás, amely a rendszer keretein belül se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Ez utóbbi mondat azért jelenti ugyanazt, mint az előző, mert ha egy állítás se nem bizonyítható, se nem cáfolható, akkor ugyanez kell hogy vonatkozzon az ellentétére is. Azonban a szóban forgó állítás és az ellentéte közül valamelyik biztosan igaz, mert a formális logikában csak olyan állításokkal foglalkozunk, amelyek vagy igazak, vagy nem - harmadik eset nincs. Bármelyik is legyen a szóban forgó mondat és ellentéte közül az, amelyik igaz, olyan igazság van a kezünkben, amely a formális rendszeren belül nem bizonyítható.

Még kevésbé formalizáltan így is fogalmazhatjuk Gödel eredményét: Ha logikánkkal minden igazságra nyitottak akarunk maradni, akkor a rendszerek válogatása szükségszerű."